弃法从数，数学界来了座微积分史上的“里程碑”

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弃法从数，数学界来了座微积分史上的“里程碑”

从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想，到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就，微积分这座“数学宝藏”如何被塑造成今天的模样？

如果你想学习微积分，了解其发展史与获取知识不是对立、分割的两件事，更不是非此即彼的。

回溯微积分的发展史本身就能给学习带来启发。

《微积分溯源》是一堂以“新角度”讲解微积分的数学课。作者聚焦微积分的起源与思想发展历程，结合数学学习模式和教育研究，重现了微积分发展史中的重要时刻和四大思想主线，回顾了牛顿、莱布尼茨、黎曼等伟大数学家的辉煌成就。我们将一起游历世界，看一看微积分这座“数学宝藏”的来时路。



《微积分溯源》

作者：[美] 戴维·M. 布雷苏

译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆

01  莱布尼茨的觉醒

戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646—1716 ）学的是法律专业，职业是律师。他曾担任过冯·伯恩堡男爵 (Baron von Boyneburg)的私人秘书。出于外交的需要，这是一个经常在各地往返的职位。

1672 年，他与克里斯蒂安·惠更斯在巴黎见过面，后者或许是那个年代微积分领域最重要的欧洲大陆学派专家。

抵达巴黎后，莱布尼茨高估了自己的数学水平，解决惠更斯向他提出的一个问题以后，这种感觉变得更加强烈。

惠更斯的问题是对三角数的倒数求和，即计算



若利用部分分式展开，莱布尼茨注意到



抵消中间项，此时



次年，莱布尼茨到英国旅行。其间，他试图提醒英国的哲学家们关注上述结果，但最终却发现，早在二十几年前，彼得罗·门戈利（Pietro Mengoli，1626—1686）就已经对此结果进行过说明。

此时的莱布尼茨才意识到，他对于微积分最新的进展是多么无知。离开英国之时，莱布尼茨还带上了巴罗的一本《几何学讲义》。



在接下来的几年里，莱布尼茨在巴黎生活，并在惠更斯的指导下开展严肃的数学研究工作。

等到 1673 年秋天，他已经重新发现了积分学基本定理。在 1673 年到 1676 年，莱布尼茨发展了使用积分法则的工具，甚至包括对换元积分法和分部积分法的深刻理解。

他的做法依赖于无穷小的语言。 他发明的记号让我们受用至今：莱布尼茨用的记号表示导数，将其理解为无穷小的比，并用的记号表示对乘积形式 ydx 进行求和。

莱布尼茨将微分视作无穷小量，但他十分清楚，它们是虚构出来的数学对象，仅仅用来简记一个量可以按照我们需要的方式任意小。 通过一封写给伯纳德·纽汶蒂 (Bernard Nieuwentijdt) 的信，莱布尼茨解释了他的想法:

当谈及无限大量（或者更严格的说法，无穷大量）、无限小量（或我们认知里最小的量）之时，我们指的是，这些量可以任意大、任意小，换言之，它们可以以我们需要的方式变得任意大、任意小，即对于任意的量，我们都可以使得误差比这个给定的量小……若试图将它们 [包括无限大量和无限小量] 理解为终极对象，或真实的无限，或许你会认为这完全不可能，但我们的确可以做到这一点，是的，不仅如此，这种做法也不会退回到对于扩张、无限连续统，以及无限小真实性方面的争论。 正如代数学家们使用虚根可以获得巨大的收获，人们只需要将无限大量和无限小量视作微积分的一种简单工具即可。（ [16]，p。 150 ; 斜体为添加文字。）

引用文字中的斜体部分表明，莱布尼茨坚持认为：无穷小量的差可以任意接近于 0 。

02  伯努利兄弟的接力

一定程度上而言，莱布尼茨最伟大的贡献在于，他清楚应该将这些知识送往何处，才能得到有效的反馈。

莱布尼茨在 1682 年协助设立了《教师学报》（Acta Eruditorum），这是（德意志民族）神圣罗马帝国的第一份科学期刊，同时也是整个欧洲地区最早的期刊之一。

1684 年，莱布尼茨将他自己在微积分领域的第一份论文发表在此处。 这篇论文成功地引起了一对喜好数学的瑞士兄弟 —— 雅克布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）和约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）的注意。

得到莱布尼茨的保证后，伯努利兄弟更倾向于将无穷视作具体的量，因为莱布尼茨告知他们这是一种安全的处理方式。

按照这种理解方式，伯努利兄弟取得了巨大的成功。1690 年到 1697 年，凭借对微积分中微分工具的熟练掌握，他们发现了很多带有特殊性质的曲线。

● 等速曲线。求解一条曲线，使得小球在重力作用下能够以恒定的竖直速度沿曲线下降。

● 等时曲线。求解一条曲线，使得无论小球的初始位置处于曲线的哪一点，它都将经历相同的时间到达曲线底端。

● 最速降线。给定 A , B 两点 (其中点 B 比点 A 略低)。 试求连接 A、B 的所有曲线中，能够使得小球从点 A 滚动到点 B 耗时最短的曲线。

● 悬链曲线。用以描述重绳索、重链条悬挂的曲线。

在上述每一个问题中，均已知曲线在每一点的切线斜率。 为了对解给出描述，伯努利兄弟在每一种情形均构造了相应的微分方程。

兄弟二人中的哥哥——雅克布，牢牢地占据着他们家乡巴塞尔大学数学系唯一的教授职位。 而他的弟弟约翰不得不去其他地方另谋出路。 这并不容易。1691 年旅行至巴黎之时，约翰结识了弗朗索瓦·安东尼·德·洛必达侯爵（Marquis Guillaume Francois Antoine de L'Hospital，1661—1701）。

侯爵是一位野心勃勃的数学家，一心渴望学习最新的微积分知识。 1694 年，他向伯努利发起了一个有趣的提议：用 300 镑 （在当时，这相当于一个非熟练劳动力年薪的 30 倍）换取伯努利对于数学发现的出版署名权。

最后的结果是，洛必达以自己的名义出版了《阐明曲线的无穷小分析》（Analyze desInfiniments Petits）一书。 这是第一本全面地介绍莱布尼茨在微积分方面工作的著作。 此外，该书还包含了对形如 0/0 的问题求解极限的方法，这也就是我们熟知的洛必达法则。

我们至今仍不清楚 ∞/∞ 形式的洛必达法则究竟是在什么时间被发现的。毫无疑问的是，它已经出现在 19 世纪 20 年代柯西的分析课程中。 这或许是其最早被刊印的时间。

图灵新知  2026 年 1 月 9 日 08:04  北京