辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2025年11月25日

1 引言

二维平面图着色问题是图论领域的经典难题，四色定理已明确任意平面图均可使用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，其核心思路是将任意二维平面图（下称原图）转化为结构等价的单中心轮图（下称新图），以此实现平面图着色过程的规范化与简便化。新图与原图在结构和功能上的等价性，确保了着色结果的可映射性，为解决平面图着色问题提供了一套系统化的方法。其中，辐边总和数对应新单中心轮图的辐边数，同时也等于新图环上节点数与环边数的总和。

2 辐边总和公式与图结构转换

2.1 辐边总和公式（三维代数构造范式）

辐边总和公式的适用范围覆盖两类二维平面图：一类是具有由外向内两层及以上环加中心区域的标准结构平面图，另一类是中心区域为任意结构且中心区域节点数≥0的非标准结构平面图。公式的计算规则为，对平面图中每一轮构型的辐边数独立计算后求和。

从图结构的本质来看，二维平面图中除外围节点外，围内的每个节点均可作为轮构型的中心，不同轮构型之间可实现部分或全部点边的叠加，即所有二维平面图均可视为轮构型模块的叠加组合。辐边总和公式的核心目标，就是将任意二维平面图转化为单中心轮图，而单中心轮图仅需4种颜色即可完成着色，且与原图保持结构和功能的等价性。

作为独立于传统图论欧拉公式的纯代数公式，辐边总和公式的基础形式定义如下：

w = 6(n - m - 1) + (m - d)

式中参数定义为：n为节点总数（n \geq 4），m为外围节点数（m \geq 2），d为第二层环节点数（d \geq 2），w为辐边数（w \geq 6）。公式中系数6的来源为最小解情形：当n = 4且m = d = 2时，计算可得w = 6；公式中的“减1”操作是为了扣除围内的一个基准值，且需满足平面图中所有顶点的度数均≥1。需要特别说明的是，该最小解由两个1+3轮构型模块经部分点边叠加后形成。

针对特殊情形的公式简化规则如下：

1. 当m = d，且m + d为≥4的偶数时，公式可简化为 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；
2. 当m = d = 3时，公式进一步简化为 w = 6(n - 4)；
3.&#160;对于单层或多层外环加中心区结构的平面图，公式可简化为 w=n+3d-4\pm z。此简化公式以树型结构为模型，其中理论边数e=d-1（d为围内节点数，a为实际连接边数），修正项z的取值规则为：若e<a则取+z，若e>a则取-z，若e=a则z=0。

2.2 普适公式与虚拟环构建

为覆盖标准与非标准全类型二维平面图，可通过为原图添加双层虚拟环的方式统一计算标准，双层虚拟环的总节点数为6，每层包含3个节点。基于虚拟环构建方法，辐边总和公式的普适形式定义如下：

w = 6(n_{新} - 4)

式中参数定义为：n_{原}为原始二维平面图的节点个数（n_{原} \geq 0），n_{新} = n_{原} + 6为添加双层虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的核心作用是对原图形成包裹，可有效处理包含孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构的复杂平面图。添加虚拟环后的新图为实际存在的图结构，原图作为子结构完全包含于新图之中；在完成新图着色后，去掉双层虚拟环，原图可直接继承新图的着色结果，且其色数≤4。

2.3 重构公式（等价生成）

基于辐边总和数w，可直接确定与原图等价的单中心标准轮图的规模，对应的重构公式为：

\odot = 1 + w

式中参数定义为：\odot代表最终生成的单中心标准轮图的规模，1代表由原图所有围内节点（即所有轮构型模块的中心节点）经几何叠加后形成的唯一中心等效体，w为该单中心轮图环上的节点数，同时也等于轮图的辐边数。

2.4 原图与新图的结构转换

2.4.1 原图分解至新图的转换步骤

原图到新图的转换以轮构型分解与重组为核心，具体操作步骤如下：

1.&#160;对原图进行轮构型分解，若原图围内包含N个节点，则可分解得到N个变形轮构型，并同步记录各变形轮构型的几何形状；
2.&#160;对分解得到的变形轮构型执行边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型；
3.&#160;对每个标准轮构型进行扇形化处理，具体操作是选取环上一节点的一侧与边的连接处断开，通过边与辐边的伸缩使轮构型展开为扇形，此时原轮构型的中心节点对应扇形的扇钉或点片，辐边对应扇骨，环边对应扇纸，扇形的两端分别形成凹卯眼状的节点端与凸榫头状的边端；
4.&#160;对所有扇形进行拼接，形成单中心轮图，拼接规则为将一个扇形的节点端与另一个扇形的边端相连接，同时将所有扇形的扇柄（即原轮构型的中心节点）以点片形式叠加，最终形成统一的中心等效体。

2.4.2 新图还原至原图的转换步骤

新图到原图的转换是上述过程的逆操作，具体步骤如下：

1.&#160;从新图的环上标记节点处拆解，得到n个扇形结构，每个扇形对应原图分解得到的一个标准轮构型；
2.&#160;对每个扇形执行两端连接操作，将扇形还原为标准轮构型；
3.&#160;参照原图的初始变形状态，对所有标准轮构型进行部分或全部点边的叠加，最终恢复原图的完整结构，该过程可确保新图与原图的结构等价性。

3 新单中心轮图的最优着色问题

新单中心轮图的着色规则由其环上节点数n的奇偶性决定，具体着色方案如下：

1.&#160;当n = 2m + 1（即奇环）时，环上节点采用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心等效体使用第4种颜色，总颜色数为4；
2.&#160;当n = 2m（即偶环）时，环上节点采用2种颜色交替着色m次，中心等效体使用第3种颜色，总颜色数为3。

需要强调的核心约束条件为：若原图中存在任一奇轮构型模块，即便新图的环为偶环，也必须采用4色方案完成着色，这是保证新图着色结果能够无冲突映射回原图的关键前提。同时需要明确，本文所定义的新单中心轮图，是由轮构型扇化模块拼接组装而成的图结构，与传统图论中的单中心轮图属于不同概念。

4 原图与新图的功能等价性

4.1 原图到新图的功能保持

在原图分解为n个轮构型后，若各轮构型中心节点的颜色存在差异，则选取占比最高的颜色作为新图中心等效体的颜色；对于颜色与新图中心颜色不一致的轮构型，通过环上对应节点颜色与中心节点颜色的互换操作，使所有轮构型的中心节点颜色统一，以此确保新图与原图的功能等价性。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射

在新图分解为n个轮构型的过程中，若新图中心等效体的颜色与原图对应轮构型中心节点的颜色存在冲突，则通过新图中心节点颜色与环上节点颜色的互换操作，使新图分解后的轮构型中心颜色与原图保持一致，维持二者的功能等价性。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色无冲突，则可跳过复杂的颜色互换步骤，直接对中心节点颜色进行替换，以此简化着色流程。

5 结论

本文提出的辐边总和公式，以双层虚拟环包裹和轮构型转换为核心手段，实现了任意二维平面图到单中心轮图的等价转化。利用单中心轮图的着色特性，可直接推导出原图的四色以内着色方案。原图与新图之间的双向转换机制，以及二者在结构和功能上的完全等价性，保证了着色结果的有效性与可映射性。该公式为二维平面图着色问题提供了可操作的理论框架，同时也为四色定理的证明提供了一种构造性解决方案。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2025年11月25日

1 引言

二维平面图着色问题是图论领域的经典难题，四色定理已明确任意平面图均可使用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，其核心技术路径是将任意二维平面图（下称原图）转化为结构与功能完全等价的单中心轮图（下称新图），以此实现平面图着色流程的规范化与简便化。新图与原图的等价性确保了着色结果的可映射性，为二维平面图着色问题提供了一套系统化的理论与操作框架。其中，辐边总和数对应新单中心轮图的辐边数量，同时等于新图环上节点数与环边数的加和值。

2 辐边总和公式与图结构转换

2.1 辐边总和公式（三维代数构造范式）

辐边总和公式的适用范围涵盖两类二维平面图：一类是具有由外向内两层及以上环带加中心区域的标准结构平面图，另一类是中心区域为任意拓扑结构且中心区域节点数不小于0的非标准结构平面图。该公式的计算遵循“分轮计算、加总求和”的原则，即对平面图中每一轮构型的辐边数独立计算后，累加得到辐边总和数。

从图结构的本质构成分析，二维平面图中除外围节点外，围内的每个节点均可作为轮构型的中心节点，不同轮构型之间可实现部分或全部节点与边的叠加，这意味着所有二维平面图在拓扑层面均可解构为轮构型模块的叠加组合。辐边总和公式的核心目标，是通过代数计算将任意二维平面图转化为单中心轮图，而单中心轮图仅需四种颜色即可完成着色，且与原图保持结构和功能的双重等价性。

作为独立于传统图论欧拉公式的纯代数构造范式，辐边总和公式的基础形式定义如下：

w = 6(n - m - 1) + (m - d)

式中各参数的定义为：n代表平面图的节点总数，且满足n \geq 4；m代表外围节点数，且满足m \geq 2；d代表第二层环节点数，且满足d \geq 2；w代表辐边数，且满足w \geq 6。公式中系数6的取值依据为最小解情形：当n = 4且m = d = 2时，经计算可得w = 6；公式中的“减1”操作，其作用是扣除围内的一个基准参考值，且公式的应用需满足平面图中所有顶点的度数均不小于1的前提条件。需要特别指出的是，该最小解由两个1+3轮构型模块经部分节点与边的叠加后形成。

针对特定条件下的公式简化规则如下：其一，当m = d且m + d为不小于4的偶数时，公式可简化为w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；其二，当m = d = 3时，公式进一步简化为w = 6(n - 4)；其三，对于单层或多层外环加中心区结构的平面图，公式可简化为w=n+3d-4\pm z。该简化公式以树型结构为参照模型，其中理论边数e=d-1（d为围内节点数，a为实际连接边数），修正项z的取值规则为：当理论边数小于实际连接边数即e<a时取+z，当理论边数大于实际连接边数即e>a时取-z，当理论边数与实际连接边数相等即e=a时取z=0。

2.2 普适公式与虚拟环构建

为实现对标准与非标准全类型二维平面图的覆盖，可通过为原图添加双层虚拟环的方式统一计算基准，双层虚拟环的总节点数为6，每层包含3个节点。基于双层虚拟环的构建方法，辐边总和公式的普适形式定义如下：

w = 6(n_{新} - 4)

式中各参数的定义为：n_{原}为原始二维平面图的节点个数，且满足n_{原} \geq 0；n_{新} = n_{原} + 6为添加双层虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的核心功能是对原图形成拓扑包裹，可有效处理包含孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构的复杂平面图。添加虚拟环后的新图为具备实际拓扑意义的图结构，原图作为子结构完全嵌入新图之中；在完成新图的着色操作后，去除双层虚拟环，原图可直接继承新图的着色结果，且其色数不大于4。

2.3 重构公式（等价生成）

基于辐边总和数w，可直接确定与原图等价的单中心标准轮图的规模参数，对应的重构公式定义如下：

\odot = 1 + w

式中各参数的定义为：\odot代表最终生成的单中心标准轮图的规模；数字1代表由原图所有围内节点（即所有轮构型模块的中心节点）经几何叠加后形成的唯一中心等效体；w为该单中心轮图环上的节点数量，同时等于该轮图的辐边数量。

2.4 原图与新图的结构转换

2.4.1 原图分解至新图的转换流程

原图到新图的转换以轮构型的分解与重组为核心操作，具体流程如下：第一步，对原图进行轮构型拓扑分解，若原图围内包含N个节点，则可分解得到N个变形轮构型，并同步记录各变形轮构型的几何拓扑特征；第二步，对分解得到的变形轮构型执行边与辐边的“皮筋伸缩”操作，通过拓扑变换将所有变形轮构型还原为标准轮构型；第三步，对每个标准轮构型实施扇形化处理，具体操作是选取环上某一节点的单侧与边的连接处进行拓扑断开，通过边与辐边的伸缩使轮构型展开为扇形结构，此时原轮构型的中心节点对应扇形的扇钉或点片结构，辐边对应扇形的扇骨结构，环边对应扇形的扇纸结构，扇形的两端分别形成凹卯眼状的节点端与凸榫头状的边端；第四步，对所有扇形结构进行拓扑拼接，形成单中心轮图，拼接规则为将一个扇形的节点端与另一扇形的边端进行适配连接，同时将所有扇形的扇柄（即原轮构型的中心节点）以点片形式叠加，最终形成统一的中心等效体。

2.4.2 新图还原至原图的转换流程

新图到原图的转换是上述分解重组流程的逆操作，具体流程如下：第一步，从新图的环上标记节点处进行拓扑拆解，得到n个扇形结构，每个扇形结构对应原图分解得到的一个标准轮构型；第二步，对每个扇形结构执行两端拓扑连接操作，将扇形结构还原为标准轮构型；第三步，参照原图的初始变形状态，对所有标准轮构型进行部分或全部节点与边的叠加操作，最终恢复原图的完整拓扑结构，该过程可确保新图与原图的结构等价性。

3 新单中心轮图的最优着色规则

新单中心轮图的着色规则由其环上节点数n的奇偶性特征决定，具体着色方案如下：当环上节点数为奇数即n = 2m + 1时，环上节点采用2种颜色交替着色m次，剩余的1个节点使用第3种颜色，中心等效体使用第4种颜色，总颜色数为4；当环上节点数为偶数即n = 2m时，环上节点采用2种颜色交替着色m次，中心等效体使用第3种颜色，总颜色数为3。

需要强调的核心约束条件为：若原图中存在任意一个奇轮构型模块，即便新图的环为偶环结构，也必须采用4色方案完成着色，这是保证新图着色结果能够无冲突映射回原图的关键前提。同时需要明确界定，本文所定义的新单中心轮图，是由轮构型扇化模块经拓扑拼接组装而成的图结构，与传统图论体系中的单中心轮图属于不同的拓扑概念。

4 原图与新图的功能等价性验证

4.1 原图到新图的功能保持机制

在原图分解为n个轮构型后，若各轮构型中心节点的颜色存在差异，则选取占比最高的颜色作为新图中心等效体的基准颜色；对于颜色与基准颜色不一致的轮构型，通过环上对应节点颜色与中心节点颜色的拓扑互换操作，使所有轮构型的中心节点颜色实现统一，以此确保新图与原图的功能等价性。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射机制

在新图分解为n个轮构型的过程中，若新图中心等效体的颜色与原图对应轮构型中心节点的颜色存在冲突，则通过新图中心节点颜色与环上节点颜色的拓扑互换操作，使新图分解后的轮构型中心颜色与原图保持一致，维持二者的功能等价性。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色不存在冲突，则可跳过复杂的颜色互换操作步骤，直接对中心节点颜色进行替换，以此简化着色流程的操作复杂度。

5 结论

本文提出的辐边总和公式，以双层虚拟环拓扑包裹和轮构型拓扑转换为核心技术手段，实现了任意二维平面图到单中心轮图的等价转化。利用单中心轮图的着色特性，可直接推导得到原图的四色以内着色方案。原图与新图之间的双向拓扑转换机制，以及二者在结构和功能上的完全等价性，保证了着色结果的有效性与可映射性。该公式为二维平面图着色问题提供了可操作的理论框架，同时也为四色定理的证明提供了一种构造性解决方案。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

朱明君

六 基于 n,m 的基本公式

在相关平面图形结构中，设图形的初始节点数为 n，独立边界边数为 m，可推导得到以下核心参数的计算公式：

1.三角形个数 a 满足 a = 2n - m - 2

2.图形的总边数 e 满足 e = 3n - m - 3

3.图形中各三角形之间的共享边个数 P 满足 P = 3n - 2m - 3

4.图形内所有节点的度数之和 R 满足 R = 6n - 2m - 6

七 基于 w,m,d 的导出公式

当已知图形的辐边总数 w、独立边界边数 m 以及补充参数 d 时，可进一步推导出各核心参数的等价表达式：

1.三角形个数 a 可表示为 a = （w + 2m + d）/3

2.图形的总边数 e 可表示为 e = （w + 3m + d）/2

3.图形中各三角形之间的共享边个数 P 可表示为 P = （w + m + d）/2

4.图形内所有节点的度数之和 R 可表示为 R = w + 3m + d