\(\Huge^\star\color{navy}{\textbf{ 漫谈序集,无穷和极限}}\)

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极限观念古已有之. 刘徽割圆, 阿基米德算黄金分
割, 费马求极值, 牛顿莱布尼兹创建微积分. 然而
天才们沒赶上十九世纪. 没有极限的确切概念. 天
才目测所向披靡, 也留下很多著名猜想. 没有极限
的确切概念无法解决.拉玛努金有大量极限类猜想.
极限概念与数和序 (大小顺序) 及无穷的概念密不
可分. 而数, 序及无穷的概念只有在集合论中才得
以真正建立. 此说显得很霸道. 所以尝试科普漫谈.\(\large\underset{\;}{\;}\)
我们先从\(\small\sqrt{2}\)到底等于啥说起. 这问题默认\(\small\sqrt{2}\,\)可
被我们确信为数的有限小数即某有理数表示.
记\(\alpha\)为边长为\(1\)的正方形的对角线长. 据勾股定理
\(\small \alpha^2=1^2+1^2,\;\alpha^2-1=1,\;\alpha-1=\large\frac{1}{1+\alpha}\) 故有
\(\small(^\star)\;\;\alpha=1+\large\frac{1}{1+\alpha}\). 将\(\small(^\star)\)的右边代入\(\small(^\star)\)的右边
出现的\(\alpha\)得 \(\small \alpha=1+\scriptsize\cfrac{1}{2+\large\frac{1}{1+\alpha}}\). 重复这种操作得
\(\small(\dagger)\;\;\scriptsize\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\color{red}{\cdots}}}}}\;\;\)(\(\small\sqrt{2}\)的连分数)
\(\small(\dagger)\)中的\(\color{red}{\cdots}\)表示按已知的范式继续但沒完没了. 所
以\(\small\sqrt{2}\)是无理数, 不能表示成有限小数. 其渐近分数
序列 \(\scriptsize 1,1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}, 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}, 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}},\cdots\) 即
\(\{\frac{p_n}{q_n}\}:1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\cdots\)由递推公式
\(\small p_1=q_1=1,\;p_{n+1}=p_n+2q_n,\;q_{n+1}=p_n +q_n\)
完全确定. 无须逐一写出(也不可能逐一写出). 除非
定义无尽连分数, 否则根本谈不上\(\small(\dagger)\)成立．
装一把天才, 我们定义无尽连分数是其渐近分数序
列的极限.  \(\{a_n\}\)的极限是一个数\(a\), \(a_n\)随\(\,n\,\)的增
大无限趋近\(a\). 而数是有向线段的长度. 以下正式定
义扬弃了随\(n\)增大, 无限趋近等灵动却含糊的片语.
【定义】若存在定数\(a\), 对任给 \(\varepsilon\scriptsize > 0,\)存在\(\small N_\varepsilon\in\mathbb{N}\)
使 \(\small|a_n-a|<\varepsilon\) 对任意\(n\small >N_\varepsilon\)成立, 则称\(\small\{a_n\}\)收
敛, 称\(a\)为 \(\small\{a_n\}\)的极限, 记作 \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a.\)
【评注】序列极限的定义确切地给出了数列趋于其
极限的精准表述. 直观地说\(\small\,\lim a_n = a\) 表示对任意
\(\small\varepsilon>0,\,\{a_n\}\)的项除有限多例外都在\(\scriptsize(a-\varepsilon, a+\varepsilon)\)内.
所以极限的定义严格地说不依赖于\(\small\infty\)概念, 也无须
回答\(n\)能否趋于无穷这种无法有限操作验证的问题.
所有不懂极限的人都会说当\(\small n\to\infty\)时如何如何, 其
实狗屁不通.不断后继下去能称得上趋于无穷时？
谁在极限定义中能找到无穷或趋于无穷的时间？
趋于无穷时是一个自欺欺人的臆淫. 极限是定数.
极限定义的精髓恰恰是去无穷大(小)去精灵化!!!
任何需要无穷操作的东西都归结为公理, 无穷操
作或无穷构造是非法的．
但极限定义能够实际检验\(\small\{a_n\}\)的敛散性或算出序列
的极限吗？定义中有关任意\(\small\,\varepsilon>0\,\)是否涉及无穷操
作？来看一些实际例子.
【例0】\(\small\lim \frac{1}{n}=0\)
【证】对\(\small\;\varepsilon>0\), 令\(\scriptsize N_\varepsilon=\lfloor\varepsilon^{-1}\rfloor+1\)则对任意 \(\small n>\scriptsize N_\varepsilon\)
\(\scriptsize\;\;\)有 \(\small|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}< \frac{1}{N_\varepsilon}< \frac{1}{\varepsilon^{-1}}=\varepsilon.\;\;\therefore\;\;\lim\frac{1}{n}=0\)
【例1】\(\small\lim\sqrt[n]{n}=1\)
【证:】令\(\small\lambda_n=\sqrt[n]{n}>0\;(n>2)\).   据二项式定理,
\(\scriptsize\;\; n=(1+\lambda_n)^n = 1+n\lambda_n+\frac{n(n-1)}{2}\lambda_n^2+\cdots>\frac{n(n-1)}{2}\lambda_n^2\)
\(\scriptsize\;\;1>\frac{n-1}{2}\lambda_n^2>\frac{n}{4}\lambda_n^2,\,0<\lambda_n<\frac{2}{\sqrt{n}}.\) 对\({\scriptsize \varepsilon>0,\,N_\varepsilon=1+}\small\lfloor\frac{4}{\varepsilon^2}\rfloor\)
\(\scriptsize\;\;\)有\(\small\; n>{\scriptsize N_\varepsilon\implies}n>\frac{4}{\varepsilon^2}{\scriptsize\implies}\frac{4}{n}{\scriptsize<\varepsilon^2\implies}\frac{2}{\sqrt{n}}\scriptsize<\varepsilon\)
\(\small\;\;{\scriptsize\implies |\sqrt[n]{n}-1|=\lambda_n<}\frac{2}{\sqrt{n}}<\varepsilon.\quad\therefore\;\;\lim\sqrt[n]{n}=1\)
【注记】一般地说,  求极限是通过已知极限,  有关
极限的定理,目测+论证得到,没有通用算法. \(\small\varepsilon>0\)
的任意性通过不对\(\small\varepsilon\)提进一步要求,假设实现的. 研
究极限的方法叫数学分析. 数学分析的主要工具是
含变量的不等式.使不等式成立的数域叫有序域.
有序域中关于不等式及四则运算的公理有两条.
(1) \(a>b\implies a+c>b+c\,(\forall c)\)
(2) \((a>0)\wedge(b>0)\implies(ab>0)\)
【定理】序与运算的公理是所有不等式的基础
1) \(\small a>0\implies 0=a+(-a)>-a\implies -a< 0\)
2) 易见\(\small a\ne 0\implies a^2>0.\) 可见 \(\small 1=1^2>0\)
3) \(\small a>0\implies ((a^{-1})^2>0)\implies a^{-1}=a(a^{-1})^2>0\)
4) \(\small a>b>0\implies ((a-b)>0)\wedge (ab>0)\implies\)
\(\quad{\large \frac{a-b}{ab}}{\small= b^{-1}-a^{-1}>0}\implies a^{-1}< b^{-1}\)

待续