正四面体问题

波斯猫猫

题：正四面体棱长 5√2，顶点 A 到地面最近，其他顶点到地面距离 5,6,7，求 A 到地面距离.

思路(立几法)：设A到地面的距离为x,其余数据及符号如图所示。

显然，46=98-98cosβ，即cosβ=26/49，sinβ=5√69/49。

cosα=(b^2-c^2+49)/(14b),sinα=√[(14b)^2-(b^2-c^2+49)^2]/(14b).

∴ cos(β-α)=(b^2-a^2+49)/(14b)

=(26/49)[(b^2-c^2+49)/(14b)]+(5√69/49)√[(14b)^2-(b^2-c^2+49)^2]/(14b)，

即49(b^2-a^2+49)=26(b^2-c^2+49)+5√69√[(14b)^2-(b^2-c^2+49)^2]，

49b^2-49a^2+49^2=26b^2-26c^2+26.49+5√69√[(14b)^2-(b^2-c^2+49)^2]，

-5√69√[(14b)^2-(b^2-c^2+49)^2]=26b^2-26c^2+26.49-49b^2+49a^2-49^2，

-5√69√[14^2(50-t^2)-(2t+50)^2]=-23(50-t^2)-26(49-t^2-2t)+26.49+49(49-t^2+2t)-49^2，

√69√(73-2t^2-2t)=23-3t，解得3t=2√69(t＞0) ∴x=6-2√69/3

注：空间问题常常需要转化到几个有联系的平面上去解决.本思路把问题归结到地面上的四边形，
      利用其边，对角线和角的关系予以解决.

luyuanhong

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下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

波斯猫猫

坐标法：设A(0，5，5),B(0，0，0),C(5，5，0),D(5，0，5)，

∵B，C，D到地面的距离分别为5，6，7(D最远)，∴可设地面方

程为ax+by+cz+5=0 (a,b,c均为正)，a^2+b^2+c^2=r^2，

则5/r=5，5(a+b+1)/r=6，5(a+c+1)/r=7，

即5(a+b)=1，5(a+c)=2，或5b=1-5a，5c=2-5a，

∴ 25a^2+(1-5a)^2+(2-5a)^2=25，即15a^2-6a-4=0，

或10a=2+2√69/3 . 从而 A到地面的距离

5(b+c+1)=8-10a=6-2√69/3 .

波斯猫猫

坐标法：设A(0，5，5),B(0，0，0),C(5，5，0),D(5，0，5)，

设地面方程为ax+by+cz+5=0 ，a^2+b^2+c^2=r^2，且

B，C，D到地面的距离分别为5，6，7，

则5=5r，∣5(a+b+1)∣=6r，∣5(a+c+1)∣=7r，或

∣5(a+b+1)∣=6，∣5(a+c+1)∣=7.

(1)当5(a+b+1)=6，5(a+c+1)=-7时，

有5(a+b)=1，5(a+c)=-12，或5b=1-5a，5c=-12-5a，

∴ 25a^2+(1-5a)^2+(-12-5a)^2=25，

即15a^2+22a+24=0，算得△＜0.

(2)当5(a+b+1)=-6，5(a+c+1)=7时，

有5(a+b)=-11，5(a+c)=2，或5b=-11-5a，5c=2-5a，

∴ 25a^2+(-11-5a)^2+(2-5a)^2=25，

即15a^2+18a+20=0，算得△＜0.

(3)当5(a+b+1)=-6，5(a+c+1)=-7时，

有5(a+b)=-11，5(a+c)=-12，或5b=-11-5a，5c=-12-5a，

∴ 25a^2+(-11-5a)^2+(-12-5a)^2=25，

即15a^2+46a+48=0，算得△＜0.

(4)当5(a+b+1)=6，5(a+c+1)=7时，

有5(a+b)=1，5(a+c)=2，或5b=1-5a，5c=2-5a，

∴ 25a^2+(1-5a)^2+(2-5a)^2=25，即15a^2-6a-4=0，

或10a=2+2√69/3 . 从而 A到地面的距离

5(b+c+1)=8-10a=6-2√69/3 .

注：这才是完整的，严谨的做法.

luyuanhong

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