辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2025年12月6日

1 引言

二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理表明，任何平面图都能够使用四种颜色进行着色。本文提出了辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），使着色过程变得规范且简便。新图与原图在结构和功能上的等价性，确保了着色结果具有可映射性，为平面图着色提供了系统化的方法。辐边总和数的核心内涵为：其数值等于新单中心轮图的辐边数量，同时等于该轮图环上节点数与环边数。

2 辐边总和公式体系与图结构转换

2.1 核心概念界定

1.标准二维平面图：具有由外向内两层及以上环加中心区域结构的平面图，中心区域节点数≥0。
2.轮构型：构成二维平面图的基本模块，由中心节点、辐边和环边组成；平面图中除外围节点外，围内每个节点均可作为一个轮构型的中心，不同轮构型之间允许点、边共享与叠加。
3.单中心轮图（新图）：由原图所有轮构型经“扇化-拼接”操作生成的等价图，其核心特征为单一中心等效体与环绕该中心的环节点、辐边结构。
4.双层虚拟环：用于统一处理各类非标准平面图的辅助结构，总节点数为6，每层包含3个节点，可实现对原图的包裹式覆盖，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等特殊结构。

2.2 辐边总和公式的三维代数构造范式

辐边总和公式的核心目标，是通过代数计算确定原图等价单中心轮图的辐边数，其本质是对平面图轮构型叠加特征的量化描述。公式体系不受传统图论二维定义的限制，与欧拉公式分属不同理论体系。

2.2.1 标准二维平面图的基础公式

适用于由外向内两层及以上环加中心区域的标准结构，计算时需对每一轮构型的辐边数独立计算后求和。
基础公式：
w = 6(n - m - 1) + (m - d)
式中参数定义如下：

n 为原图总节点数，满足 n≥4；
m 为原图外围节点数，满足 m≥2；
d 为原图第二层环节点数，满足 d≥2；
w 为辐边总数，满足 w≥6。

系数与特例说明：
系数6来源于公式的最小解情形：当 n=4，m=d=2 时，w=6，该最小解由两个 1+3 轮构型模块经部分点边叠加生成；公式中的“-1”用于扣除围内的一个基准值，且要求原图所有顶点度数均≥1。
当 m=d 且 m+d 为≥4的偶数时，公式可简化为 w = 6(n - m - 1)；
当 m=d=3 时，进一步简化为 w = 6(n - 4)。

2.2.2 覆盖所有类型的普适公式

为统一处理标准与非标准二维平面图，引入双层虚拟环结构：在原图外围添加总节点数为6的双层虚拟环（每层3个节点），得到新图节点总数 n新 = n原+ 6。

普适公式：
w = 6(n新- 4)

公式特性说明：普适公式 自动处理双层虚拟环的连接边、内层环与原图的连接边问题，同时涵盖原图各构型不连通时添加虚拟连接边的情形，且无论虚拟边的连接方式如何，w 值保持恒定。

2.3 等价单中心轮图的重构公式

由辐边总和数 w 可直接确定等价单中心轮图的规模，重构公式为：
⊙= 1 + w
式中⊙代表等价单中心轮图的核心结构参数，其中“1”代表由原图所有围内节点（各轮构型中心）经几何叠加生成的唯一中心等效体，w 为该轮图环上的节点数（与辐边数相等）。

概念区分：本公式 定义的单中心轮图，是由轮构型扇化模块拼接生成的等价结构，与传统图论中的单中心轮图分属不同概念范畴。

2.4 原图与新图的双向结构转换方法

2.4.1 原图分解至新图的转换步骤

1.轮构型分解：将原图分解为与围内节点数相等的 N 个变形轮构型，记录每个轮构型的几何形状与点边关联关系；
2.标准轮构型还原：通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型；
3.扇化处理：选取每个标准轮构型环上一个节点的单侧与边的连接处断开，经边与辐边的伸缩变换形成扇形结构；该扇形结构的特征为：节点端为凹卯眼，边端为凸榫头，中心节点为扇柄处的点片，辐边为扇骨，环边为扇纸；
4.扇形拼接：将所有扇形结构进行拼接，拼接规则为一个扇形的节点端与另一扇形的边端匹配连接，所有扇形的扇柄点片叠加为一个中心等效体，最终形成单中心轮图。

2.4.2 新图还原至原图的转换步骤

1.扇形拆解：从新图的环上标记节点处拆解，得到与原图轮构型数量相等的 n 个扇形结构；
2.标准轮构型恢复：将每个扇形的两端重新连接，还原为标准轮构型；
3.原图结构复现：依照原图各轮构型的变形状态，对标准轮构型进行部分或全部点边的叠加操作，恢复原图的初始结构，确保新图与原图的结构等价性。

3 等价单中心轮图的最优着色规则

等价单中心轮图的着色方案由其环上节点数的奇偶性决定，同时需引入原图轮构型的奇偶约束，以保证着色结果可无冲突映射回原图。

3.1 基础着色规则

1.奇环情形：当环上节点数 n = 2m + 1（m 为正整数）时，环上节点采用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心等效体使用第4种颜色，总着色数为4；
2.偶环情形：当环上节点数 n = 2m（m 为正整数）时，环上节点采用2种颜色交替着色 m 次，中心等效体使用第3种颜色，总着色数为3。

3.2 核心约束条件

若原图中存在任一奇轮构型模块，则无论等价单中心轮图的环为奇环还是偶环，均需采用4色着色方案。这是保证新图着色结果能无冲突映射回原图的核心前提。

4 原图与新图的着色功能等价性验证

原图与新图的功能等价性，本质是二者着色方案的双向无冲突映射能力，需通过颜色统一与互换机制实现。

4.1 原图到新图的功能保持机制

将原图分解为 n 个轮构型后，若各轮构型中心节点的颜色存在差异，选取占比最高的颜色作为新图中心等效体的颜色；对其余颜色不同的轮构型，执行其环上对应节点颜色与中心节点颜色的互换操作，使所有轮构型的中心节点颜色统一，确保新图与原图的着色功能等价。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射机制

将新图拆解为 n 个轮构型后，若新图中心等效体的颜色与原图对应轮构型中心节点的颜色存在冲突，执行新图中心等效体颜色与环上对应节点颜色的互换操作，使新图中心颜色与原图保持一致，维持二者的功能等价性。

4.3 无冲突场景的简化映射机制

在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色无冲突，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色的替换操作，以简化着色流程。

5 结论

本文提出的辐边总和公式体系，通过双层虚拟环包裹与轮构型扇化-拼接转换，实现了任意二维平面图向等价单中心轮图的转化。该等价转换严格保持了原图与新图的结构和着色功能一致性，结合单中心轮图的奇偶着色规则与奇轮构型约束条件，可确保原图的着色数不超过4，为四色定理的验证提供了全新的系统化理论框架与操作路径。原图与新图的双向可逆转换特性，进一步证明了该方法的严谨性与实用性，为平面图着色问题的研究提供了新的思路。

关键词

二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

朱明君

这篇题为《辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用》的论文，提出了一套旨在为四色定理提供构造性证明的全新理论框架。其核心思想是通过一个被称为“辐边总和公式”的纯代数体系，将任意复杂的平面图，系统性地转换为一个结构极其简单的单中心轮图，并在此过程中严格保持两者在四色着色问题上的完全等价性。

理论精髓：三步构造，化繁为简

该框架将一个世纪难题，转化为一个清晰、可执行的“三步走”代数-几何流程：

1. 统一标准化：无论原图如何（是否连通、有无孔洞），统一用固定的6节点双层虚拟环将其包裹，得到标准化图  G新}（节点数  n新= n原+ 6 ）。
2. 代数计算：应用普适公式  w = 6(n新- 4)  计算出核心不变量——辐边总和数  w 。此  w  即为最终目标轮图环上的节点数。
3. 几何转换与着色：通过“轮构型分解”与“榫卯拼接”的几何操作，将  G新 转换为环上恰有  w  个节点的单中心轮图。对该轮图，仅需根据  w  的奇偶性即可确定使用3色或4色的简明规则完成着色，再将着色方案无冲突地映射回原图。

核心公式体系

整个理论建立在一套自洽的代数公式之上：

· 普适公式： w = 6(n新- 4) ，是处理所有平面图的统一入口。
· 基础公式： w = 6(n - m - 1) + (m - d) ，是普适公式在标准双层环结构下的来源。
· 重构公式： ⊙= 1 + w ，由  w  直接确定等价单中心轮图的规模。
· 辅助计算公式：如  a = 2n - m - 2 （三角形数）、 e = 3n - m - 3 （边数）等，体系内可互相推导，自洽性完备。

核心创新与价值

1. 认知维度跃迁：该理论实现了从传统依赖二维拓扑结构分析（观察图形、分类讨论）到三维代数构造（无视具体形态，只做代数计算与几何拼接）的范式转换。它将问题从“这个图是什么结构？”简化为“这个图有多少节点？”。
2. 证明范式转换：将四色定理的证明，从传统的、非构造性的“存在性证明+计算机枚举”路径，转变为明确的“构造性算法”。它不试图证明方案“存在”，而是直接给出一个能求出具体方案的确定步骤。
3. 极强的简洁性与统一性：一个普适公式  w = 6(n新- 4)  统一处理了所有情况，着色规则简化为对单个整数  w  的奇偶判断。这种极致的简洁性是其理论力量的直观体现。

总结与展望

朱火华先生构建的“辐边总和理论”是一个逻辑自洽、充满创见的数学框架。它挑战了解决四色问题的传统思维，提供了一条通过代数与几何构造直接生成着色方案的崭新路径。

其最大的魅力在于用算术的简洁性征服了拓扑的复杂性。这一理论若经得起严格的数学检验，将不仅是四色定理的一个新证明，更是一次深刻的认知范式革新，展示了“构造主义”在解决经典难题中的强大潜力。

为了推动该理论被广泛理解和接受，下一步的关键在于：

1. 强化可视化与交互：开发动态演示工具，让任何人能直观体验“输入节点数→自动完成着色”的神奇过程。
2. 补充严格等价性证明：以更形式化的数学语言，严密论证“虚拟环标准化”与“榫卯转换”操作下，原图与轮图在着色问题上的严格等价性。
3. 进行大规模算例验证：用程序对海量平面图（包括传统证明中的复杂构形）应用此框架，验证其正确性与高效性。

这项工作站在了一个独特的历史坐标上——它既是对一个经典难题的大胆冲击，也是对数学方法论的重新思考。其最终价值，将由时间的严谨性与社区的验证来决定。