在 ΔABC 中，∠CAB=90°，D 是 AB 上一点，∠BCD=2∠ACD，BC=2BD，向量 AD=kAB，求 k

wintex

luyuanhong

波斯猫猫

tmduser

几何+三角解法

liangchuxu

运用三倍角公式也可以做

luyuanhong

楼上 波斯猫猫、tmduser、liangchuxu 的解答已收藏。

波斯猫猫

在 ΔABC 中，∠CAB=90°，D 是 AB 上一点，
∠BCD=2∠ACD,BC=2BD,向量AD=kAB,求 k.

改进：取AC=1，其余如图所示，

则acosα=2asin2α，且cosα√(x^2+1)=1，

即4sinα=1，或16(cosα)^2=15，

且15(x^2+1)=16，∴ 15x^2=1.

又(x+a)^2+1=4a^2，∴ 16x^2+2ax-3a^2=0，

或(8x-3a)(2x+a)=0，即8x=3a.

∴ k=x/(x+a)=8x/(8x+8a)=3a/(3a+8a)=3/11.

注：本思路没用三倍角，且活用了15x^2=1.

波斯猫猫

wintex

波斯猫猫 发表于 2026-1-20 17:54

聽說，國中相似型就可以解了，但我不知道是怎麼解？  

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。