正规矩阵有哪些特色？

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正规矩阵有哪些特色？

在研究特征值问题时，“能否对角化”至关重要：对角化意味着矩阵结构变得清晰明了，计算与理解都随之变得简单。本文沿着这一主线，从实对称与埃尔米特矩阵出发，借助舒尔分解，把视野推向更广阔的“正规矩阵”。它们不仅都能通过酉相似被对角化，而且特征向量可选成标准正交基，从而得到清晰的谱分解与正交投影解释；也正是在这里，代数结构与几何直观，以及“最佳逼近”的最优化意义自然汇合。阅读本文，你将看到正规矩阵为何格外“规整”，又为何在理论与应用中如此重要。

撰文 | 朱慧坚（广州南方学院数学与统计学院副教授）、丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授）

追寻可对角化矩阵

我们在《返朴》上刊登的关于矩阵理论的系列文章中，上一篇《如何理解矩阵的特征值问题？》讨论了一般方阵的特征值问题，并区分了两大类矩阵，即可对角化类和不可对角化类。刻画第一类矩阵的一个准则是所有特征值都是半单的，换句话说所有特征值的代数重数（特征多项式线性因子的幂指数）等于几何重数（特征子空间的维数），第二类的矩阵就缺乏这一性质，或言之至少一个特征值的几何重数小于代数重数。



看看人类成员之间的朋友关系，就不及矩阵的相似关系那么严谨完备。现实中的朋友关系符合“等价关系”三要素中的前两条：自反性——自己当然是自己的朋友；对称性——张三和李四是朋友也意味着李四和张三是朋友。但是第三条传递性就无法保证了：即便张三和李四是朋友，李四又是王五的朋友，也不能确保张三和王五也是哥们，说不定他们反而是“老死不相往来”的宿敌呢！事实上，倘若朋友关系是个等价关系，那么社会就会被划分成无数个封闭的小圈子，这就大大减少了人际关系的丰富性和复杂性。从这里也可领会为何 “数学比人生容易多了”这一颠扑不破的真理。

正是由于对角矩阵提供了可对角化矩阵的最简形式，我们很自然地想知道哪些矩阵可以对角化。本文旨在开启一趟探寻之旅，带你领略可对角化矩阵的数学之美。

埃尔米特矩阵的性质

物理巨擘杨振宁先生近期以 103 岁高寿仙逝，留给世人无尽的缅怀。在他浩如烟海的著述与演讲中，始终强调对“对称之美”的执着追求。“对称”也给数学家带来了无尽的愉悦和遐想。以此为引，我们将目光投向实对称矩阵。



上三角化定理与埃尔米特矩阵的酉对角化

现在，我们准备攻克本文面临的第一个坚固堡垒：埃尔米特矩阵的每个特征值是否是半单的？ 想要拿下它，所需的“攻坚利器”是“上三角化定理”。这一结果对一般的复矩阵同样适用，由俄罗斯数学家舒尔（Issai Schur，1875- 1941）发现。舒尔一生几乎都在德国学习与任教，研究领域包括群表示论（以通常所称的“舒尔引理”为人熟知）、数论与组合数学。他最广为人知的结果是下面的“舒尔矩阵分解定理”；因为它在本文中仅被用来证明其他结果，我们只好以引理称之：



从酉矩阵到正规矩阵

到目前为止，我们已经攻下“哪类矩阵可以对角化”的第一关。既然埃尔米特矩阵能酉相似于对角矩阵，我们肯定会对在其中扮演了关键角色的酉矩阵产生好奇：酉矩阵本身是否也能“酉相似于”对角矩阵呢？或许会有读者惊奇，回答是肯定的。



正规矩阵的谱分解定理



致谢：感谢周舒义编辑发现原文数学证明中的几处瑕疵。

原创  宋慧坚  丁玖  返朴  2026 年 1 月 20 日 08:59  北京