解方程 x+x／√（x^2-1）=2√2

波斯猫猫

日本中学数学竞赛题：
解方程 x+x／√（x^2-1）=2√2
（见本论坛数学期刊）.

思路：因 y=x+x／√（x^2-1） 的导数

y'=1-1/（x^2-1）^（3/2），

∴当x>1时，零点x=√2是

y=x+x/√（x^2-1）的最小值点.

又原方程可化为：x+x/√（x^2-1）

=√2+√2/√（√2^2-1）

∴其解x=√2.

注：实际上，原方程的解x=√2是函数
y=x+x/√（x^2-1）在x>1的条件下，取
得最小值2√2时所对应的x的值（在外地，
手机输入）.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

波斯猫猫

与原作者的解题研究作比，本思路的特点
是：透过现象看本质，揭开面纱靠导数.

波斯猫猫

换元法：原方程可化为

1+1/√（x^2-1）=2√2/x=y（y>1），

∴（y-1）^2（x^2-1）=1，且x^2y^2=8.

消去x整理得：y^4-2y^3-6y^2+16y-8=0，

即（y-2）^2（y^2+2y-2）=0.

∴y=2.故x=√2（x>1）.

注：本思路是通过求两曲线y=1+1/√（x^2-1）
和y=2√2/x在x>1的条件下的交点（实为切点）
的坐标而得解.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。

波斯猫猫

换元法：令x=√2t，则原方程可化为：

1+1/√（2t^2-1）=2/t，化简整理得

（t-1）^2（t^2-2t-2）=0（1/√2<t<2），

显然t=1，∴x=√2.

注：本思路考虑消去x，而保留“x^2”，使
问题得以简化.

波斯猫猫

对原作者解法1的改进
原方程平方得：

x^2+2x^2/√（x^2-1）+x^2/（x^2-1）=8，

即x^4/（x^2-1）+2x^2/√（x^2-1）-8=0.

解得x^2/√（x^2-1）=2，

即x^2=2，或x=√2（x>0）.

注：原作者换元换早嘎点，多做一步x^2+x^2/（x^2-1）
=x^4/（x^2-1），其过程就得到了大大的简化.

波斯猫猫

三角代换

因x>1，故可令x^2-1=（tana）^2（0<a<兀/2），

则x=1/cosa，代入原方程得：1/cosa+1/sina=2√2，

即sina+cosa=2√2sinacosa，∴1+sin2a=2（sin2a）^2，

解得sin（2a）=1，∴a=兀/4，即cosa=1/x=1/√2，或x=√2.

波斯猫猫

直接求解

原方程可化为：x^2/（x^2-1）=（2√2-x）^2，

化简整理得：（x-√2）^2（x-√2+√6）（x-√2-√6）=0，

∴x=√2±√6（增根），x=√2为原方程的解.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。