埃拉托斯特尼的筛法模型

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埃拉托斯特尼的筛法模型

当下的数学家都认为埃拉托斯特尼的筛法是非常常用和实用的一种筛法，但是它对于素数的估计不起什么作用，也就是无法对素数进行估计，其实这是一个误区。是因为人们还没有掌握一种数学技巧来解决这个问题。
随着数学技巧在各方面的发展，我们最终总会解决这一难题。
下面我为埃拉托斯特尼的筛法作出一个模型，为此解决了这一问题。
因为
t^2=(2∑(1,t)t)-t
令2∑(1,t)t)-t=A[t]+B[t].A[t]=∑(1,t)[t],B[t]=∑(1,t-1)[t].其中[t]是一个自然数集合。
A[1]=[1],B[1]=[2];A[2]=[3,4],B[2]=[5,6];A[3]=[7,8,9],B[3]=[10,11,12];...;A[t]=[a1,a2,a3,...,at],B[t-1]=[b1,b2,b3,...,bt-1].其中at=t^2,bt=t^2-t,此集合包含了所有不大于t^2的自然数。
为此我们建立一个筛法模型：
将A[t]+B[t]进行埃拉托斯特尼的筛法后；
因为在不大于t的自然数中存在p1,p2,p3,...,pn个素数，而所有合数的素因子不超过pn，分别为g1,g2,g3,...,gn.其中gn的最小素因子不大于pn.这时集合A[t]+B[t]分为两种集合pn[t]和gn[t].其中当t=pn时只有A[t]=pn[t]而B[t]=gn[t].
此时所有的合数都落在gn[t]中，将这些合数集合都筛去，留下的就都是素数集合，它们就是1+∑(1,n)[pn].
因为这些素数或合数都分散在A[t]+B[t]的各个集合中,所以不一定是所有不大于t^2的自然数。所以t=pn,π(pn^2)≈1+∑(1,n)pn.

例子

t=5
5^2=
A[1]=[1],B[1]=[2]
A[2]=p1[2]=[3,5],B[2]=g1[2]=[4,6]
A[3]=p2[3]=[7,11,13],B[3]=g2[3]=[9,15,21]
A[4]=g1[4]=[8,10,12,14],B[4]=g1[4]=[16,18,20,22]
A[5]=p3[5]=[17,19,23,29,31]

π(5^2)≈1+∑(1,n)pn=1+2+3+5=11
真值π(5^2)=9

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t=7
7^2
B[5]=g3[5]=[25,35,55,65,85]
A[6]=g1[6]=[24,26,28,30,32,34]
B[6]=g1[6]=[36,38,40,42,44,46]
A[7]=p4[7]=[37,41,43,47,53,59,61]

t=11
11^2
B[7]=g4[7]=[49,77,91,119,133,161,203]
A[8]=g1[8]=[48,50,52,54,56,58,60,62]
B[8]=g1[8]=[64,66,68,70,72,74,76,78]
A[9]=g2[9]=[27,33,39,45,51,57,63,69,75]
B[9]=g2[9]=[81,87,93,99,105,111,117,123,129]
A[10]=g2[10]=[80,82,84,86,88,90,92,94,96,98]
B[10]=g2[10]=[100,102,104,106,108,110,112,114,116,118]
A[11]=p5[11]=[67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109]

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t=13
13^2
B[11]=g5[11]=[121,143,187,209,253,319,341,407,451,473,517]
A[12]=g1[120,122,124,126,128,130,132,134,136,138,140,142]
B[12]=g1[144,146,148,150,152,154,156,158,160,162,164,166]
A[13]=p6[113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,
181]

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从上面的例子中可以看到；
A[t]+B[t]=t^2是一个不大于t^2的自然数集合。经过埃拉托斯特尼的筛法成为pn[t]+gn[t]的埃拉托斯特尼的筛法集合并成为了它的一个模型，这个模型反映了埃拉托斯特尼筛法的全部内容，并将素数和合数作了精准的分类。在这个模型中元素的个数不变，元素的连续性不变，元素的不重复性不变，只是扩大了元素的范围，且范围是可控的，所以它完全适合于约等式。它是对埃拉托斯特尼筛法的一个精妙估计，大家可以去比较比较。