求 sinx (√cosy)+cosx (√siny) 的最大值

天山草

tmduser

根据柯西不等式：\((ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)
有：\((ac+bd)\le\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\)
若令上式中 \(c=d=1\), 则有：\((a+b)\le\sqrt{2(a^2+b^2)}\)
据此有：
\(\sin x\ \sqrt{\cos y}+\cos x\sqrt{\sin y}\le\sqrt{\left( \sin^2x+\cos^2x\right)\left( \left| \cos y\left| +\right|\sin y\right|\right)}\)
\(=\sqrt{\left| \cos y\left| +\right|\sin y\right|}\)
\(\le\sqrt{\sqrt{2\left( \cos^2y+\sin^2y\right)}}=\sqrt[4]{2}\)
容易验证至少有 \(x=y=\frac{\pi}{4}\) 上述不等式可取等号，即最大值为：\(\sqrt[4]{2}\)

luyuanhong

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