在陈纪修《数学分析》函数定义 f：X→Y 中，为什么 X 要求是实数的子集，Y 却是实数集

fm1134

陈记修老师的《数学分析》中对“一元实函数”的定义如图所示。
不理解为什么该定义中，要求定义域是实数集的子集（即：X包含于R），而值域则要求是整个实数集（即：Y=R）呢？
是印刷错误，还是别有用意呢？

tmduser

估计是印刷错误，正确表述应该是：\(X、Y\subseteq R\)

liangchuxu

简单例子

luyuanhong

问  在陈纪修《数学分析》函数定义 f：X→Y 中，为什么 X 要求是实数的子集，Y 却是实数集？

答  我仔细看原文，原文中一开始给出了“映射”的定义

                              f：X→Y

    对于集合 X 中的每一个元素 x ，都可以找到 Y 中唯一确定的元素 y 与之对应。

    X 称为映射 f 的定义域，记为 Df ，而在映射 f 之下，X 中元素 x 的像 y 的全体称为映射 f

的值域，记为 Rf 。

    仔细看一下，就可以看到，上面说到 X 就是定义域 Df ，但并没有说 Y 就是值域 Rf 。

    Y 只是在 f：X→Y 中，表示映射后得到元素可能取值的范围，就像通常将一个实函数 f 表示为

                            f：R→R

只是表示函数 y=f(x) 自变量 x 可能取值的范围是实数域 R ，函数值 y 可能取值的范围也是实数域 R 。

并不表示实数域 R 是函数 y=f(x) 的值域。

    在陈纪修《数学分析》的映射定义 f：X→Y 中，把 X 等同于定义域 Df ，但没有把 Y 等同于值域 Rf 。

    延伸到后面实函数 f：X→Y 的定义，因为 X 就是定义域 Df ，所以 X 只能是整个实数域 R 的一个子集。

    但因为 Y 并不是值域 Rf ，Y 只表示函数值可能取值的大范围，所以 Y 可以是整个实数域 R 。

fm1134

luyuanhong 发表于 2026-2-21 02:50
问  在陈纪修《数学分析》函数定义 f：X→Y 中，为什么 X 要求是实数的子集，Y 却是实数集？

答  我仔细 ...

确实是这样。看来我阅读得还是不够仔细认真啊。
多谢几位老师的解答！