\(\huge^\star\color{darkgreen}{\textbf{ 实数的}\,p\textbf{-进制无尽小数值}}\)new

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记 \(\small v=|x|,\,r(x)=x-\lfloor x\rfloor,\,h(x)=\big\lceil\frac{x+|x|}{2|x|+1}\big\rceil=\scriptsize\begin{cases}1,& x>0\\ 0.& x\le 0\end{cases}\)
令 \(\small\eta(x):=h(x)(\lceil x\rceil-1)=\scriptsize\begin{cases} 0,& x\le 0;\\x-1,& r(x)=0< x;\\\lfloor x\rfloor.&  r(x)>0< x.\end{cases}\)
设\(\small\mathbb{R}\ni x\ne 0,\,{\scriptsize m,k,p\in\mathbb{Z}\,(p>1)},\,r_k=r({\scriptsize p^k}v),\,m{\scriptsize=\underset{u\in\mathbb{Z}}{\min}\{u\mid}\frac{p^u}{v^{-1}}\scriptsize\ge 1\}\).
(1) 若\(r_{k-1}\small=0,\) 则 \(r_k\small=0\) 于是 \(\small\eta(p^kv)-p\eta(p^{k-1}v)=p-1\)
(2) 若\(r_{k-1}\small >0,\) 则 \(\small p^kv>p\lfloor p^{k-1}v\rfloor=p\eta(p^{k-1}v)\) 因\(\small\eta(\beta)\le|\beta|\)
\(\quad\small 0\le \lceil p^kv\rceil{\scriptsize-1-}p\eta(p^{k-1}v)=\eta(p^kv)-p\eta(p^{k-1}v)\le pr_{k-1}< p\)
故 \(\;\;\boxed{\small(\dagger)\;\;\mathbb{N}\ni a_k :=\eta(p^kv)-p\eta(p^{k-1}v)\le p-1\,(\forall k\in\mathbb{Z})}\)
注意 \(\small \eta(p^{m-1}v)=0,\;|\beta-\eta(\beta)|\le 1\;(\beta\in\mathbb{R})\) 于是有
\(\scriptsize\displaystyle\sum_{k=m}^\infty\frac{a_k}{p^k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=m}^n\frac{a_k}{p^k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=m}^n\big(\frac{\eta(p^nv)}{p^n}-\frac{\eta(p^{k-1}v)}{p^{k-1}}\big) =\lim_{n\to\infty}\frac{\eta(p^nv)}{p^k}\)
\(\qquad\scriptsize\;\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{p^nv-(p^nv-\eta(p^nv))}{p^n}=v,\;\;(注意 \forall\beta\in\mathbb{R},\,|\beta-\eta(\beta)|\le 1)\)
\(\therefore\quad\boxed{\small(^*)\;\; x=\text{sign}(x)\sum_{n=m}^\infty\frac{a_n}{p^n}\;\;\binom{\small a_n=\scriptsize\eta(p^nv)-p\eta(p^{n-1}v}{\small m=\scriptsize\underset{\scriptsize u\in\mathbb{Z}}\min\big\{u\mid\dfrac{p^u}{v^{-1}}\ge 1\big\}}}\)
可见非零实数可唯一地表为 \(p\)-进制无尽小数. 此乃该实数的
\(p\)-进制值. 由\(a_k\)个\(\color{blue}{-k}\)级数量单位\(\small(k=m,\ldots,n,n+1,\ldots)\)
合成. 这种表示不会是有限小数 \(\small x=\text{sign}(x)\displaystyle\sum_{n=m}^N\frac{a_n}{p^n}\) 因为据
\(\small(1),\) 此时 \(\small\{a_n\}\) 从某项起均为 \(\small p-1>0\).\(\underset{\;}{\;}\)
【例】\(p=10:\;\pi\small=3.1415926535897932384626433832\ldots\)
\(\qquad\;\,2=1.\dot 9,\;\small\sqrt{2}=1.414213562373095048801688724\ldots\)
\(\qquad\;\,p=2:\;\;\small\sqrt{10}=1.011010100000100111100110011\ldots\)
\(\qquad\;{\small 10=1.\dot 1},\;\frac{1}{10}=\small 0.0\dot 1.\)
【评注】算不到'底', 写不到'底'的无尽小数凭什么存在？
这是李利浩的问题. 应用中我们必须知道\(\sqrt{2}\)之类的几何量
在允许的误差限度内的近似值是多少. 在认可几何量的存在,
并且理论上确定任意精度的近似均可通过有限计算得到的
前提下, 就可以说这个几何量在实数域中可以表示为近似值
的极限. 因此这个量的 \(p\)-进制表达就是其一种存在方式：即
\(\small 0._{\scriptsize(p)}a_1a_2a_3\ldots a_n\ldots\)是一实数\(\alpha\), 其截段 \(\small 0._{\scriptsize(p)}a_1a_2a_3\ldots a_n\)
与\(\alpha\)的误差小于\(\frac{1}{p^n}\). 人的有限认知对一般实数的数值计算
的最高境界莫过于要多精确就有多精确的近似. 进一步的探
究当然就是实数理论. 而这是谢芝灵, jzkyllcjl 等人不愿意涉
足的.  范副, 春霞, APB, hxl268 等人都是公开见数学就反遇
数学家就死磕的败类, 与主楞一样, 自捣自蛋, 争相显摆愚蠢.
矛盾百出,不可救药.
由无尽小数理论引出的一些话题
(1) 由基数算术及二进制无尽小数与\([0,1]\)的一一对应知道
\(\quad\small|[0,1]|=2^{\aleph_0}=|\mathscr{P}(\mathbb{N})|>|\mathbb{N}|=\aleph_0.\) 故连续统不可数．
(2) \(\small 0.\dot 9=1\) 已经无可争议. 混混APB的梦臆\(0.\dot 01>0\)泡汤.
\(\quad\)\(0.\dot 01\)不是任何非零实数的十进制值, 而是0的混混表示.
(3) \(\pi\small=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{\eta(10^k\pi)-10\eta(10^{k-1}\pi)}{10^k}=3.1415\ldots.\)
\(\quad\)被证明为无理数, 其有理序列逼近(上式)中没有项达到\(\pi\).
\(\quad\)极限存在就必可达的胡扯泡汤, 滚驴春霞丢人现眼．