素数定理

小草

素数定理


证:
我们建立一个自然数模块。
当t=1时
模块A1[1]1;B1[2]1.(右边的数字表示它们的模值)。
当t=2时
模块A2[3,4]2;B2[5,6]2.
当t=3时
模块A3[7,8,9]3;B3[10,11,12]3.
.
.
.
当t=k时
模块Ak[不大于k^2的k个自然数]k;Bk[不大于k(k+1)的k个自然数)]k.

这时我们得到
t^2=(2∑(1,t)t)-t                   (一)

我们从不大于t^2的自然数中，得到了（2t)-1个模块。
模块无限增加，自然数就无限增加。

同时我们利用埃拉托斯特尼筛法得到埃拉托斯特尼筛法模块
A1[1]1
B1[2]1
p1[3,5]2
g1[4,6]2
p2[7,11,13]3
g2[9,15,21]3
g1[8,10,12,14]4
g1[16,18,20,22]4
p3[17,19,23,29,31]5
g3[25,35,55,65,85]5
.
.
.
pk[pk个素数]pk

此时埃拉托斯特尼筛法模块中可分为三种模块
1，A1[1],B1[2]
2，素数模块
3，合数模块

素数模块和B1[2]包括了所有素数。我们得到

素数模块
B1[2]1
p1[3,5]2
p2[7,11,13]3
p3[17,19,23,29,31]5
.
.
.
pk[pk个素数]

因为在自然数模块中不大于t^2的自然数=(2∑(1,t)t)-t.这时候我们得到
π((pk)^2)≈1+∑(1,k)pk.                 (二)
就是所有素数相加再加上1.

我们先建立一个素数模块B1[2]1，我们从模块B1[2]1中得到素数2，我们又可以建立一个模块p1[3,5]2;我们从模块p1[3,5]2中，又可以建立p2[7,11,13]3，p3[17,19,23,29,31]5的2个模块，它们无限循环下去，得到了无限素数并证明了(二)式。
证毕。

小草

2^2
自然数模块1+1+2=4
素数模块1+2=3
自然数1模块=1
3+1=4
自然数模块与自然数模块相加。
素数模块与素数模块相加。
自然数1模块1

3^2
自然数模块1+1+2+2+3=9
素数模块1+2+3=6
合数模块2
自然数1模块1
6+2+1=9
自然数模块与自然数模块相加。
素数模块与素数模块相加。
合数模块与合数模块相加。
自然数1模块1

5^2
自然数模块1+1+2+2+3+3+4+4+5=25
素数模块1+2+3+5=11
合数模块2+3+8=13
自然数1模块1
11+13+1=25
自然数模块与自然数模块相加。
素数模块与素数模块相加。
合数模块与合数模块相加。
自然数1模块1

对于任意的t^2
都有t^2=1+2∑(1,t)t
自然数模块与自然数模块相加。
素数模块与素数模块相加。
合数模块与合数模块相加。
自然数1模块1
表π(x)为不大于x的素数个数；
π((pk)^2)≈1+∑(1,k)pk

这时自然数，素数，合数，各自都按各自的增长方式增长，它们都是增函数。

名称  【】2^2【】3^2【】5^2趋向无穷

自然数【】4  【】9  【】25趋向无穷
素数  【】2  【】7  【】9 趋向无穷

素数/自然数【】0.5【】0.77778【】0.36趋向0