基础理论中的两个重要定理的证明

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     命题1（产生新素数的定理）:设p1和p2是相邻素数，若相邻素数的差p2-p1>＝2，则在p2+2与3*p2（或2*p2+1）之间必然会有新的素数产生，新的素数的间距又是大于等于2的，所以此过程是无穷的，故，只要有一对相邻素数的差为2则新的素数就会无穷无尽出现。（证明也可参见我的《数论探秘》）
    证：
奇素因子p第一次出现时本身是个素数，第一次出现就是在第一个周期内，所以，各素因子的第一个周期是其占位最多的情况，而每一个素因子在其一个周期内只能占一个位置，若相邻素数的差p2-p1>＝2，由于各素因子周期不同，节拍错位，在p2的第二个周期内必然有重复占位的，比如3p2就是3和p2重复占位了（比如2p2就是2和p2重复占位了），则在p2+2与3p2（或2*p2+1）之间必有一个空缺位置，就是旧素因子不能占位了，必然会产生一个新素数。这是必然的。
     而新素数和p2的差是从2到该数内的理论最大值（比如小于p或者小于√p，精确的理论值目前还没有人确定）之间的某个值（需要注意一点的是，除了2、3和5这一组以外，差为2的素数对，后面不会紧跟一个差为2的素数，但是间隔一个或几个其他差值的素数后就又会出现差为2的素数对了），所以，该间距又是大于等于2的。
    因此，下一个周期就又会必然产生新的素数，过程是无穷的，所以，素数是无穷的。
随着素数p的增大理论上的某数内的最大间距是不断增长的，所以，素数会越来越稀。而一旦出现了一次理论上的某数内的最大间距，则在下一个周期内又会出现一个小的间距甚至会出现多个素数，这是必然的，所以，素数又是疏密相间的。命题1成立，证毕。

     命题2（产生素数对的定理）：对应项差为2（或者2m）的两个等差数列中,这两个数列还必须是素数的几率公式（比如6n+3就不行，是个合数公式），只要出现差大于等于6的相邻素因子（相邻素因子指数列中全体素因子中的相邻素数，不一定是全体素数中的相邻素数，比如数列30n+1中就没有2，3和5 这3个素数）就必然产生孪生素数对（或者差为2m的素数对）。（产生2生素数对即差为2m的素数对的充分条件也是这个，就是只要存在差大于等于6的相邻素数对就必然产生2生素数对）（证明也可参见我的《数论探秘》）
     证明：
     2n+1：  3，5，7，……
2n+2m+1：3+2m，5+2m，7+2m，……
     这两个数列对应项差为2m，而差为2m的素数对必然是其中的对应项，因为第一个数列中包含了大于等于3的全体素数。
     根据命题1（前面已经证明是定理），就是说出现了差≥6的相邻素数对，后面的素数对的差就可以是2，4，6……到某数内的理论上的相邻素数的最大差值，都是可以出现的。
而我们要找的素数对可以是不相邻素数组成的素数对，所以，出现所需要的差的情况就更多了，所以，只要出现相邻素数的差大于等于6的情况，后面各种差值的素数对都会出现的，而且是必然会出现的，不一定正好是下一个周期。（这样命题就得证，所以，命题2可以看作命题1的推论。）
     为啥必须是大于等于6的相邻素数的差后面才会产生2生素数(即满足差值为某个偶数的素数对，可以不是相邻素数对)呢？其实原因是：除了2、3和5这一组以外，不可能连续两个相邻素数的差都是2，除了3、7和11外，不可能连续两个差值是4，且3和7之间还有个素数5呢，而差值为6是可以的。证毕！

     由于，素数越来越稀，大于等于6的相邻素数的差有无穷多，所以，孪生素数对无穷多，差为2m的素数对也是无穷多的。

    有了这俩定理就可以推导和证明出来：素数有无穷多，素数差定理（差为2m的素数对都有无穷多）、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都是成立的，而且是远远成立的！

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在10000内的差值为8和6的3个连续素数组成的素数组有30 组：
(359   367   373 )  
(719   727   733 )  
(743   751   757 )  
(983   991   997 )  
(1109   1117   1123 )  
(1733   1741   1747 )  
(1979   1987   1993 )  
(2003   2011   2017 )  
(2273   2281   2287 )  
(2459   2467   2473 )  
(2663   2671   2677 )  
(2843   2851   2857 )  
(3623   3631   3637 )  
(3719   3727   3733 )  
(4349   4357   4363 )  
(4583   4591   4597 )  
(4943   4951   4957 )  
(5399   5407   5413 )  
(5813   5821   5827 )  
(6029   6037   6043 )  
(6203   6211   6217 )  
(6329   6337   6343 )  
(6983   6991   6997 )  
(7229   7237   7243 )  
(7673   7681   7687 )  
(7919   7927   7933 )  
(8513   8521   8527 )  
(8699   8707   8713 )  
(9173   9181   9187 )  
(9803   9811   9817 )  

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在10000内的差值为6和8的3个连续素数组成的素数组有31 组：
(83   89   97 )  
(353   359   367 )  
(383   389   397 )  
(443   449   457 )  
(677   683   691 )  
(977   983   991 )  
(1103   1109   1117 )  
(1187   1193   1201 )  
(1367   1373   1381 )  
(1433   1439   1447 )  
(1553   1559   1567 )  
(1973   1979   1987 )  
(2207   2213   2221 )  
(2693   2699   2707 )  
(2837   2843   2851 )  
(2903   2909   2917 )  
(3203   3209   3217 )  
(3617   3623   3631 )  
(4283   4289   4297 )  
(4937   4943   4951 )  
(5393   5399   5407 )  
(5807   5813   5821 )  
(6323   6329   6337 )  
(6977   6983   6991 )  
(7013   7019   7027 )  
(7523   7529   7537 )  
(8363   8369   8377 )  
(8663   8669   8677 )  
(8693   8699   8707 )  
(8747   8753   8761 )  
(9533   9539   9547 )
每一组中间都没有其他素数了

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在10000内的差值为6的3个连续素数组成的素数组有58 组：
(47   53   59 )  
(151   157   163 )  
(167   173   179 )  
(251   257   263 )  
(257   263   269 )  
(367   373   379 )  
(557   563   569 )  
(587   593   599 )  
(601   607   613 )  
(647   653   659 )  
(727   733   739 )  
(941   947   953 )  
(971   977   983 )  
(1097   1103   1109 )  
(1117   1123   1129 )  
(1181   1187   1193 )  
(1217   1223   1229 )  
(1361   1367   1373 )  
(1741   1747   1753 )  
(1747   1753   1759 )  
(1901   1907   1913 )  
(2281   2287   2293 )  
(2411   2417   2423 )  
(2671   2677   2683 )  
(2897   2903   2909 )  
(2957   2963   2969 )  
(3301   3307   3313 )  
(3307   3313   3319 )  
(3631   3637   3643 )  
(3727   3733   3739 )  
(4007   4013   4019 )  
(4451   4457   4463 )  
(4591   4597   4603 )  
(4651   4657   4663 )  
(4987   4993   4999 )  
(5101   5107   5113 )  
(5107   5113   5119 )  
(5297   5303   5309 )  
(5381   5387   5393 )  
(5387   5393   5399 )  
(5557   5563   5569 )  
(5801   5807   5813 )  
(6067   6073   6079 )  
(6257   6263   6269 )  
(6311   6317   6323 )  
(6317   6323   6329 )  
(6361   6367   6373 )  
(6367   6373   6379 )  
(6857   6863   6869 )  
(6971   6977   6983 )  
(7517   7523   7529 )  
(7577   7583   7589 )  
(7817   7823   7829 )  
(8111   8117   8123 )  
(8707   8713   8719 )  
(8741   8747   8753 )  
(9391   9397   9403 )  
(9467   9473   9479 )