AB、CD为⊙O直径， M是弦AD中点。 CM ∩ ⊙O=E， EF⊥ AB ∩ AD =N。求证： EN=NF

数学小白新

如图，

ataorj

半径r，OM=m，硬算应该可以

ataorj

计算到最后是要求证明r=m,不知哪里错了....
AO=r,OM=m,则DB=2m
AM=√(rr-mm),而CM/DM=AM/EM=AC/DE=2m/DE,有
CM/√(rr-mm)=2m/DE
CM*EM=rr-mm,
(CM+EM)^2+DE^2=4rr,则
DE->(2*m*Sqrt[r^2-m^2])/Sqrt[3*m^2+r^2],
EM->(r^2-m^2)/Sqrt[3*m^2+r^2],
CM->Sqrt[3*m^2+r^2]

BF=x,EN=y,DN=z
{舍弃FN^2=ON^2-(r-x)^2=m^2+(DM-z)^2-(r-x)^2
=m^2+(√(rr-mm)-z)^2-(r-x)^2}
(FN+y)^2=x(2r-x)
y(2FN+y)=z(2√(rr-mm)-z)
FN/m=(2r-x)/√(rr-mm)
2m/FN==2r/(Sqrt[r^2-m^2]-z

Solve[{(FN+y)^2==x(2r-x),
y(2FN+y)==z(2*Sqrt[r^2-m^2]-z),
FN/m==(2r-x)/Sqrt[r^2-m^2],
2m/FN==2r/(Sqrt[r^2-m^2]-z)},{x,y,z,FN}]
x->(m^2+3*r^2)/(2*r),
z->Sqrt[-m^2+r^2]/2,
y->(-(m*Sqrt[-m^2+r^2])+Sqrt[-m^4-2*m^2*r^2+3*r^4])/(2*r),
FN->(m*Sqrt[-m^2+r^2])/(2*r)
要y=FN,就是(-(m*Sqrt[-m^2+r^2])+Sqrt[-m^4-2*m^2*r^2+3*r^4])
-(m*Sqrt[-m^2+r^2])=0,m^4-2(mr)^2+r^4=0,m=r

ataorj

2m/FN==2r/(Sqrt[r^2-m^2]-z)少了个2*:
2m/FN==2r/(2*Sqrt[r^2-m^2]-z)
但是，4个方程中有个无价值，，，

tmduser

解析法可解，但稍嫌复杂，几何法相对简单些。