求球体 (x-1)^2+(y-2)^2+z^2≤4 与 (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2≤9 的交集区域的体积

wintex

怎麼用這定理解這個？

lihp2020

首先 这个公式分析就不对
这个公式 明显 大概 是按照微积分的一些东西 把图像 分成 几层  把每一层当成一个柱体来求的


对问题2  知道两个结论
1 圆锥是 1/3 *底面积*高
2 半球  和反扣的圆锥  任意中间平切 切面积和 相等
割补法  
原题面积 = 一个圆柱的面积 - 两个圆台的面积
圆台 是大圆锥-小圆锥
而这些 都是有公式的 就能求了

luyuanhong

luyuanhong

上面第 3 楼的解答中，用到了一个球半径为 R 、高度为 h 的球缺的体积公式 V=πh^2(R-h/3) 。

这个公式，可以用“万能求积公式”推导证明出来。

wintex

luyuanhong 发表于 2026-4-7 01:54

陸老師：
這兩個球交集中截面面積怎麼算
我是想直接用萬能體積公式算
上，下面積都退化成0
高要多少？還是他不能直接用？

luyuanhong

wintex 发表于 2026-4-7 18:14
陸老師：
這兩個球交集中截面面積怎麼算
我是想直接用萬能體積公式算

一个立体区域，要用“万能求积公式”求它的体积，必须满足一个要求，就是：

任一高度处所作的截面积，必须是一个随高度变化的次数不超过三次的多项式函数。

这个多项式函数，还必须是完整的一个式子，不能分段，不能分割成几个不同的式子。

球体 (x-1)^2+(y-2)^2+z^2≤4 与 (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2≤9 的交集区域，

分成上下两个球缺，两个球缺的截面积与高度的关系，分别是两个不同的式子。

所以，不可能只用一次“万能求积公式”，就把整个交集区域的体积求出来。

只能对上下两个球缺，分别使用“万能求积公式”求出体积，再把两块体积加起来。

wintex

luyuanhong 发表于 2026-4-8 01:22
一个立体区域，要用“万能求积公式”求它的体积，必须满足一个要求，就是：

任一高度处所作的截面积 ...

這樣做錯在？

luyuanhong

wintex 发表于 2026-4-8 03:09
這樣做錯在？