林开亮：数学符号之源流

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林开亮：数学符号之源流

作者 | 林开亮（西北农林科技大学）

我们已经习惯了数字及其运算，比如 2+3=5 ，它的含义我们都明白。

但如果一个外星人看到这样的表达，他一定会莫名其妙。因为，他并不清楚，我们地球人用 2,3,5 表示数字，+ 表示加法，= 表示等号。

事实上，数学中的符号也是经过漫长的岁月才逐渐定型为今天的样子。

数学经历了几千年的发展，数学的符号和语言也是如此，以至于今天要去追踪某个常用数学符号的源头，变得特别困难。

大约 100 年前，瑞士数学史家 Florian Cajori（1859-1930）穷尽毕生心血，写了两卷《数学符号的历史》(1928-1929 年出版），才使得我们今天能够追寻数学符号的源流。


Florian Cajori（1859-1930）


《数学符号的历史》(1928-1929 年出版）

这里我们主要介绍中小学数学中一些常见符号的源头。

小学数学的最重要主题是算术，围绕数及其运算展开。

我们采用的数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 是阿拉伯数字。清朝末年才传入中国，在那之前，中国古代数学典籍中是用算筹来记数。

5 以下的数字，是几就用几根算筹表示，6,7,8,9 四个数字，则用一根算筹放在上边表示五，余下来每一根算筹表示一，0 则用空位表示。

算筹记数有纵横两种方式：



有了 0-9 ，用十进制记数法，就可以表示出一切自然数。分数和小数，则需要另外的记号。

分数有分数线，小数有小数点。在印度人的基础上，阿拉伯人添加了分数线，从而有了流传至今的分数记号。

至于小数的记号，则是 Simon Stevin 在 1585 年首次使用的。但我们要指出，中国古代数学家就有了无限小数的思想。比如，刘徽在将 3 开方时，发现开不尽，就认为这个平方根是一个无限小数。

“+”和“-”首次出现在德国数学家 Johannes Widman 1489 年出版的一部著作中。“×”则是首次出现在数学界 William Oughtred 1631年出版的一部著作中。后来，德国数学家莱布尼兹建议用“.”表示乘法，因为他觉得“×”容易与拉丁字母“x”混淆。“÷”是 Johann Rahn 在 1659 年的一本书中首次使用的。在那之前，莱布尼兹等人曾用“:”表示除法。

“=”是英国数学家 Robert Recorde 1557 年引进的，他曾对此解释道：“没有任何东西会比一对长度相同的线段看起来更相等了”。“>”和“<”则是 Thomas Harriot 在 1631 年引入的。

表示两个整数整除关系的记号“ | ”，是德国数学家 E. Landau 在 1927 年确立的。

四则运算之外，还有两个基本的运算，它们往往出现在中学，这就是乘方和开方。

1637 年，法国数学家笛卡尔在其著作中引入了平方和立方记号，a^2 , a^3 ，并用 √ 表示平方根。

圆周率用希腊字母 π 表示，源于英国数学家 W. Jones（1706年）和瑞士数学家 L. Euler（1736年）。

16 世纪，各种括号开始应用。1550 年，Rafael Bombelli 开始使用“[  ]”。

1556 年，Nicolo Tartaglia 开始使用“(  )”。1593 年，韦达开始使用“{  }”。

1591 年，韦达用大写字母 B, D 等表示任意常量的数学符号，这在数学符号发展中是最大的一个进步。

韦达成为第一个写出任意系数的代数方程并对它们进行运算的数学家。

1637 年，笛卡尔用排在最开始的拉丁字母 a, b, c 表示已知量，用排在最后的字母 x, y, z 表示未知量，这就成了一个惯例。

如果你有留心，就会发现，在许多场景，一个常量常常用它的英文首字母来表示，比如一个圆的半径通常用 r 表示，因为半径的英文是 radius ，其首字母为 r 。类似的，高常用 h 表示，因为高的英文是 height ，首字母是 h 。体积常用 v 表示，因为其英文是 volume ，首字母是 v 。于是一个底面半径为 r 、高为 h 的圆柱体的体积公式，就可以表达为 v=πr^2h 。

诗人海子曾写道“给每一条河每一座山取一个温暖的名字”。在数学中，几乎每一个对象都有一个恰当的符号。简洁是隽永的灵魂，这是有了这些简洁优美的符号，数学才如诗一般美丽。

同样地，我们也可以理解，为什么米（meter）常写成  m ，秒（second）常写成  s ；平方米又常常写成 m^2 。

有的符号甚至是几个英文单词的首字母缩写，如最大公约数常常用 gcd 表示，它们是最大公约数英文 greatest common divisor 的首字母缩写。采用首字母缩写的好处在于，提醒你这个符号本身的含义。

某种意义上讲，数学语言已经成为一门通用的国际语言，这是因为数学的符号已趋于规范化。当然，偶尔也会出现一些不规范的记号，不过随着时间的流逝，它们也终将被更恰当的记号取而代之。

原创  林开亮  好玩的数学  2025 年 8 月 28 日 21:02  江西