\(\huge\color{green}{^\star\;\;0.\dot 9=1\textbf{ 详证}}\)

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\(\color{red}{0.\dot 9}\)是否等于 1 的问题是本版块谈论得最多, 最具争议的问题.
本贴介绍现行数学对这个问题的结论及详细论证．
\(\small 0.\dot 9=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}\) (无尽小数定及无穷级数定义)
\(\quad =\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1\) (等比数列求和公式+极限论基础)
【引理】若 \(\small 0< \lambda<1,\) 则 \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lambda^n=0\)
【证明】令 \(\small\delta = \lambda^{-1}-1\), 则 \(\small\delta > 0,\,\lambda^n=\large\frac{1}{(1+\delta)^n}\le \frac{1}{\delta n}\)
\(\small\because\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\delta n}=\frac{1}{\delta}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,\;\;\therefore\;\;\lim_{n\to\infty}\lambda^n=0.\)   证毕
【注记】\(\small 0.\dot 9=0.9+0.09+0.009\cdots=\small\displaystyle\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}\cdots\)
\(\qquad\small =\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}\) 这里我们引用了现行数学对无
\(\qquad\)尽小数及无穷级数的释义. 目的在于引出部分和的极限
\(\qquad\)这个不涉及无穷操作因而是可实际分析验证的释义.
\(\qquad\)现求所论部分和: 从\(\scriptsize 1=0.9+0.1=0.99+0.01=\cdots\) 出发, 设
\(\qquad\scriptsize 1=\displaystyle\sum_{k=1}^m\frac{9}{10^k}+\frac{1}{10^m}\), 则 \(\scriptsize 1=\displaystyle\sum_{k=1}^m\frac{9}{10^k}+\frac{9}{10^{m+1}}+(\frac{1}{10^m}-\frac{9}{10^{m+1}})\)
\(\qquad\scriptsize\displaystyle=\sum_{k=1}^{m+1}\frac{9}{10^k}+\frac{1}{10^m}(1-\frac{9}{10})=\sum_{k=1}^{m+1}\frac{9}{10^k}+\frac{1}{10^{m+1}}\) 由数学归纳法得
\(\qquad\scriptsize\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}=1-10^{-n}\;(\forall n\in\mathbb{N})\). 故 \(\boxed{\scriptsize\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}=\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n}).}\)
\(\qquad\)由引理, \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=\lim_{n\to\infty}({\scriptsize\frac{1}{10}})^n=0\) 据极限的四则运算性
\(\qquad\)质得 \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1-\lim_{n\to\infty}10^{-n}=1.\) 这就完成了现
\(\qquad\)行数学框架下 \(0.\dot 9=1\) 的详尽证明.

\(\quad\)顺便提一下, 见数学就反, 逢数学人就死磕的春霞反不了
\(\quad\,0.\dot 9=1\),  却不放弃死磕本人：提出
\(\quad\,\lim\frac{1}{n}=0\implies (\forall\varepsilon>0\,\exists N_\varepsilon\in\mathbb{N}\;\forall n>N_\varepsilon):{\large\frac{1}{n}}=0\)
\(\quad\)的谬论. 却打死也举不出倒数为零的正整数. (自然数皆有限)
\(\quad\)孬种改不了吃狗屎啼猿声打驴滚的孬行.  故此令其再次闭嘴.