极坐标系下的椭圆周长

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极坐标系下的椭圆周长

原创  莫熬兄弟  摩西面  2026 年 4 月 26 日 23:51  云南

对于半长轴为 a 、离心率为 e 的椭圆，其周长可以在直角坐标系下计算（例如长轴平行于 x 轴时，具体过程可参考周三径一），也可以在极坐标系下计算。

首先将其左焦点平移到坐标原点，进而使用坐标变换，得到极坐标系下的椭圆方程：



然后利用极坐标系下的曲线长度的积分公式以及对称性，可以得到椭圆周长的积分表示，



接下来，需要用到万能代换，即：



代入化简，可得：



然后考虑一个成比例的代换：



亦即，



其中的 θ 和 φ 具有明确的含义，θ 是以焦点为视角的角变量，而 φ 是以椭圆中心为视角的角变量。代入处理，可得：



通分化简，



最后化为标准式，即：



至于最终结果，显而易见。使用第二类完全椭圆积分表示，椭圆周长可记为，



使用无穷级数表示，椭圆周长可记为，



摩西面