\(\huge\color{red}{\textbf{APB数\(0.\dot 0 1 > 0 , 0.\dot 99<1\)}}\)

APB先生

      混混elim说我“对\(0.\dot{0}1\)的引入使用了无穷操作. 这在数学论述上是非法的.”显然elim所说是错误的，因为无穷操作在数学上不一定是非法的；因为我对\(0.\dot{0}1\)的引入使用了合法的无穷操作，是建立在已有的无穷乘积\[\prod_{n=1}^{\infty}p_n=\ p_1p_2\cdots p_n\cdots\]的概念之上的，也是建立在收敛的概念之上的：\[\lim\left\{ 0.1{,}\ 0.01{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{0}1{,}\ 0.0\dot{0}1{,}\ \cdots\right\}=0\],所以我是正确的；而把\(0.\dot{0}1\)当作零才是非法的，会导致矛盾一等于零的：\[\left\{ 0.\dot{0}1=0\right\}\Rightarrow\left\{ \frac{0.\dot{0}1}{0.\dot{0}1}=\frac{0}{0.\dot{0}1}\right\}\Rightarrow\left( 1=0\right)\]
     \(1=0.\dot{9}\)是错误的，是非法的：因为存在大于零的无穷小误差\(0.\dot{0}1=\left| 1-0.\dot{9}9\right|\)，而\(0.\dot{0}1\)则是\(0.\dot{9}\)的必要的生成元，\(0.\dot{9}\in\left\langle 0.\dot{0}1\right\rangle\)，否则\(0.\dot{9}\)便是无源之水或无本之木；因为与十进制矛盾，\(0.\dot{9}\)不能进位成\(1\)；因为\(0.\dot{9}\)只是\(1\)的不足近似值，\(0.\dot{9}\doteq1\)；因为\(1=0.\dot{9}\)是自相矛盾，是整数等于小数的自相矛盾，违反了概念的同一律。\[\lim\left\{ 0.9{,}\ 0.99{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}{,}\ 0.\dot{9}9{,}\ \cdots\right\}=1\]\[0<0.\dot{0}1\ll0.\dot{9}9<1\]\[1\equiv0.1+0.9\equiv0.01+0.99\equiv\cdots\equiv0.\dot{0}1+0.\dot{9}9\]\[\left\{ 0.1{,}\ 0.01{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{0}1{,}\ \cdots\right\}\subset\mathbb{R}\]

无穷小纯小数、无穷大纯小数、无穷小纯分数、无穷大纯分数、

无穷小纯小数：\(0.\dot{0}1=0.1\times0.1\times\cdots=0.1^{\infty}，\ \ \dot{0}=\cdots00\)
无穷小纯分数：\(\frac{1}{1\dot{0}}=\frac{1}{10}\times\frac{1}{10}\times\cdots=\frac{1}{10}^{\infty}，\ \ \ \ \ \dot{0}=\cdots00\)
无穷大纯小数：\(0.\dot{9}9=1-0.\dot{0}1\)
无穷大纯分数：\(\frac{\dot{9}}{1\dot{0}}=\frac{1\dot{0}-1}{1\dot{0}}\)

APB先生

      每一个无穷位纯小数\(0.a_1a_2\cdots a_n\cdots\)都至少可以对应二个无穷大自然数：\[0.a_1a_2\cdots a_n\cdots\longleftrightarrow\begin{cases}
a_1a_2\cdots a_n\cdots.0\in\mathbb{N}\\
\cdots a_n\cdots a_2a_1.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]