哥德巴赫猜想分拆素数对的几种连乘积表达式

yangchuanju · 发表于 2026-5-21 13:33

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-5-21 17:35 编辑

哥德巴赫猜想分拆素数对的几种连乘积表达式

连乘积的含义——将多个相同或不同的乘数依次相乘，即为连乘积。
存在各种各样的连乘积，如——
将从1到n的连续正整数依次相乘所得连乘积（n的阶乘n！）是最基本的一个连乘积；
将从2到p的连续素数依次相乘所得连乘积（p的素数阶乘p#）是另一个最基本的连乘积；
当然连乘积中的乘数也不一定非连续不可，亦可将一系列分数依次相乘。
类似的，可将从9开始的各个奇合数依次相乘、将从4开始的各个偶合数依次相乘、将从4开始的各个合数依次相乘等也都是一种连乘积；
特别的，将各个连续的奇素数p减1——(p-1)与p之商依次相乘之积2/3*4/5*6/7*10/11*…*(p-1)/p；p减2——(p-2)与p之商依次相乘之积1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p；(p-1)与(p-2)之商依次相乘之积2/1*4/3*6/5*10/9*…*(p-1)/(p-2)等是几种数论中常用的几个连乘积；
又，将各个连续的奇合数c与c-2依次相乘之积9/7*15/13*21/19*25/23*27/25*…*c/(c-2)则是一种哥德巴赫猜想分拆素数对计算时常用的一个连乘积。
连乘积可用符号∏表示，如将1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p简写为∏(p-2)/p、

双计哥德巴赫猜想分析素数对数的连乘积计算式是R2≈n/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)，式中第一个连乘积中的p取尽偶数n平方根内的全部奇素数，第二个连乘积中的p仅取偶数n平方根内能够整除n的奇素数；对于单计哥猜素数对数计算式只需将n/2改成n/4即可。
由于奇素数间距不尽相等，故连乘积∏(p-2)/p=1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p中的分子、分母仅有少数可以相约；
有人试图将1/3*3/5*5/7*9/11*…*(p-2)/p改写成1/3*3/5*5/7*7/9*9/11*…*(p-2)/p*[9/7*…*(p-2)/(p-4)]=1/p*[9/7*15/13*21/19*…*c/(c-2)]，式中c是素数p前最大的奇合数。
故此双计哥德巴赫猜想分析素数对数的连乘积计算式R2≈n/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)可改写成R2≈n/2p*∏c/(c-2)*∏(p-1)/(p-2)，奇合数连乘积∏c/(c-2)总是大于1的；
进一步用稍大一点的√n代替计算式分母中的p即得R2≈√n/2*∏c/(c-2)*∏(p-1)/(p-2)，再略去大于等于1的连乘积∏(p-1)/(p-2)（波动因子）既有R2≥√n/2*∏c/(c-2)。

表面上看双计哥猜素数对数R2≥√n/2*∏c/(c-2)右端是一个渐增函数，哥德巴赫猜想不证即得；
实际上哥猜连乘积计算式值一般不等于哥猜素数对数，当偶数n较小时连乘积计算式值有的小于素数对数，有的大于素数对数；
当偶数n较大时连乘积计算式值一般是大于真实的哥猜素数对数的，并且随着偶数n的不断增大，偏差越来越大，
连乘积√n/2*∏c/(c-2)计算值有可能不再小于真实哥猜素数对数啦。

暂且不考虑大于等于号是不是总是成立的，将不计波动因子的连乘积计算式R2≥√n/2*∏c/(c-2)进一步改写成
R2≥√n/2*[4/2*6/4*8/6*9/7*…*c/(c-2)]/[4/2*6/4*8/6*…*((p-1)/(p-3)]
=√n/2*[4/2*6/4*8/6*9/7*…*c/(c-2)]/[(p-1)/2]
=√n/(p-1)*[4/2*6/4*8/6*9/7*…*(p-1)/(p-3)]，
式中不大于偶读n平方根内的最大素数p前的最大偶合数c就是(p-1)，c-2=(p-3)；

R2≥√n/(p-1)*[4/2*6/4*8/6*9/7*…*(p-1)/(p-3)]，
进一步在n和p都相当大时视略小于√n的p-1约等于√n，
则得R2≥[4/2*6/4*8/6*9/7*…*(p-1)/(p-3)]；
取单计哥猜数则有R1≥1/2*[4/2*6/4*8/6*9/7*…*(p-1)/(p-3)]。

yangchuanju · 发表于 2026-5-21 13:34

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-5-21 13:44 编辑

前述双计不计波动因子的奇合数连乘积计算式是R2≥√n/2*∏c/(c-2)，暂且未考虑大于等于号是不是总是成立的，
若表达式右端先乘上一个偶数连乘积【4/2*6/4*8/6*…*d/(d-2)=d/2】，再除以这个偶数连乘积，不等式仍成立；式中d比偶数n平方根内的最大素数小1，即d=p-1。
奇合数连乘积【9/7*15/13*21/19*25/23*27/25*…*c/(c-2)】乘以偶数连乘积就变成合数连乘积【4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*12/10*…*(p-3)/(p-1)】，分母上的偶数连乘积相互约分后变成d/2，式中c是偶数n平方根内最大素数前的最大奇合数；
R2≥√n/2*∏c/(c-2)=√n/2*合数连乘积/[d/2]=√n/2*合数连乘积*[2/d]=√n/d*合数连乘积=合数连乘积，
即R2≥【4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*12/10*…*(p-3)/(p-1)】；式中d略小于√n，视为相等；
在这里分母变大后相除的商稍微变小，若原先大于等于号是成立的，则分母变大后的大于等于号仍能成为。

对于R2≥【4/2*6/4*8/6*9/7*10/8*12/10*…*(p-3)/(p-1)】，如果将最大合数改为偶数n平方根内的最大合数又会怎样？
最后可能又增多1项或几项，连乘积变得更大，不等式不成立的可能性更大。

几种不同表达形式的哥猜素数对连乘积
基本式R2≈n/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)，R2≥n/2*∏(p-2)/p；
奇合数连乘积R2≈√n/2*∏c/(c-2)*∏(p-1)/(p-2)，R2≥√n/2*∏c/(c-2)；
合数连乘积R2≈[4/2*6/4*8/6*9/7*…*(p-1)/(p-3)]*∏(p-1)/(p-2)，R2≥[4/2*6/4*8/6*9/7*…*(p-1)/(p-3)]。

yangchuanju · 发表于 2026-5-21 13:35

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-5-21 17:36 编辑

孪生素数对数与双计哥猜数计算式主体部分相同，都是1.32*n/ln(n)^2；
哥猜数计算式要考虑波动因子的影响，孪生素数对数计算式没有波动因子；
对数式一般都小于真实哥猜数和孪生素数对数；
连乘积计算值在n较大时常大于真实哥猜数和孪生素数对数。

三种不同的哥猜素数对数连乘积都可移动到孪生素数对数计算中，
两类对数的误差互不相同，用约等于号(≈)表示时三种哥猜连乘积去掉波动因子连乘积后都是一样的；
对于哥猜素数对在不考虑波动因子时约等于号(≈)一般换成大于等于号(≥)即可；
对于孪生素数对没有这种换算，都还是约等于(≈)，因此真实的孪生素数对数小于连乘积计算值的可能性更多。

yangchuanju · 发表于 2026-5-21 18:22

合数连乘积4/2*6/4*8/6*9/7*…*c/(c-2)与偶数c^2或c^2+1内素数对数对比表
序号合数c 合数连乘积（取整）小偶c^2或c^1+1 小偶孪素合积-孪素
1 4 2 16 3 -1
2 6 3 36 5 -2
3 8 4 64 7 -3
4 9 5 82 8 -3
5 10 6 100 8 -2
6 12 7 144 11 -4
7 14 9 196 14 -5
8 15 10 226 15 -5
9 16 11 256 17 -6
10 18 13 324 20 -7
11 20 14 400 21 -7
12 21 16 442 23 -7
13 22 18 484 24 -6
14 24 19 576 26 -7
15 25 21 626 28 -7
16 26 23 676 30 -7
17 27 25 730 30 -5
18 28 26 784 30 -4
19 30 28 900 35 -7
20 32 30 1024 36 -6
21 33 32 1090 39 -7
22 34 34 1156 41 -7
23 35 36 1226 41 -5
24 36 39 1296 44 -5
25 38 41 1444 47 -6
26 39 43 1522 50 -7
27 40 45 1600 50 -5
28 42 48 1764 55 -7
29 44 50 1936 59 -9
30 45 52 2026 61 -9
31 46 55 2116 65 -10
32 48 57 2304 69 -12
33 49 59 2402 72 -13
34 50 62 2500 72 -10
35 51 65 2602 74 -9
36 52 67 2704 76 -9
37 54 70 2916 80 -10
38 55 72 3026 82 -10
39 56 75 3136 83 -8
40 57 78 3250 84 -6
41 58 81 3364 89 -8
42 60 83 3600 97 -14
43 62 86 3844 100 -14
44 63 89 3970 103 -14
45 64 92 4096 107 -15
46 65 95 4226 110 -15
47 66 98 4356 115 -17
48 68 101 4624 119 -18
49 69 104 4762 122 -18
50 70 107 4900 124 -17
51 72 110 5184 129 -19
52 74 113 5476 133 -20
53 75 116 5626 136 -20
54 76 119 5776 140 -21
55 77 123 5930 143 -20
56 78 126 6084 143 -17
57 80 129 6400 149 -20
58 81 132 6562 151 -19
59 82 136 6724 155 -19
60 84 139 7056 162 -23
61 85 142 7226 164 -22
62 86 146 7396 167 -21
63 87 149 7570 171 -22
64 88 153 7744 172 -19
65 90 156 8100 177 -21
66 91 160 8282 178 -18
67 92 163 8464 182 -19
68 93 167 8650 185 -18
69 94 170 8836 186 -16
70 95 174 9026 191 -17
71 96 178 9216 192 -14
72 98 182 9604 199 -17
73 99 185 9802 203 -18
74 100 189 10000 205 -16
75 102 193 10404 213 -20
76 104 197 10816 218 -21
77 105 200 11026 221 -21
78 106 204 11236 226 -22
79 108 208 11664 229 -21
80 110 212 12100 237 -25
81 111 216 12322 241 -25
82 112 220 12544 242 -22
83 114 224 12996 246 -22
84 115 228 13226 249 -21
85 116 232 13456 251 -19
86 117 236 13690 252 -16
87 118 240 13924 259 -19
88 119 244 14162 263 -19
89 120 248 14400 266 -18
90 121 252 14642 271 -19
91 122 257 14884 272 -15
92 123 261 15130 272 -11
93 124 265 15376 277 -12
94 125 269 15626 278 -9
95 126 274 15876 282 -8
96 128 278 16384 290 -12
97 129 283 16642 292 -9
98 130 287 16900 295 -8
99 132 291 17424 303 -12
100 133 296 17690 308 -12
101 134 300 17956 314 -14
102 135 305 18226 320 -15
103 136 309 18496 323 -14
104 138 314 19044 327 -13
105 140 319 19600 336 -17
106 141 323 19882 339 -16
107 142 328 20164 344 -16
108 143 332 20450 347 -15
109 144 337 20736 352 -15
110 145 342 21026 359 -17
111 146 347 21316 361 -14
112 147 351 21610 368 -17
113 148 356 21904 372 -16
114 150 361 22500 380 -19
115 152 366 23104 391 -25
116 153 371 23410 394 -23
117 154 376 23716 399 -23
118 155 380 24026 402 -22
119 156 385 24336 404 -19
120 158 390 24964 407 -17
121 159 395 25282 410 -15
122 160 400 25600 415 -15
123 161 405 25922 418 -13
124 162 410 26244 421 -11
125 164 416 26896 430 -14
126 165 421 27226 433 -12
127 166 426 27556 439 -13
128 168 431 28224 449 -18
129 169 436 28562 454 -18
130 170 441 28900 458 -17
131 171 446 29242 461 -15
132 172 452 29584 464 -12
133 174 457 30276 471 -14
134 175 462 30626 475 -13
135 176 468 30976 478 -10
136 177 473 31330 484 -11
137 178 478 31684 487 -9
138 180 484 32400 499 -15
139 182 489 33124 512 -23
140 183 495 33490 518 -23
141 184 500 33856 523 -23
142 185 505 34226 527 -22
143 186 511 34596 534 -23
144 187 516 34970 539 -23
145 188 522 35344 542 -20
146 189 528 35722 546 -18
147 190 533 36100 551 -18
148 192 539 36864 557 -18
149 194 544 37636 567 -23
150 195 550 38026 571 -21
151 196 556 38416 573 -17
152 198 561 39204 584 -23
153 200 567 40000 591 -24

yangchuanju · 发表于 2026-5-21 18:24

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-5-21 18:26 编辑

合数连乘积4/2*6/4*8/6*9/7*…*c/(c-2)与偶数c^2或c^2+1内素数对数对比表
序号合数c 合数连乘积（取整）小偶c^2或c^1+1 小偶孪素合积-孪素
154 201 573 40402 594 -21
155 202 579 40804 598 -19
156 203 584 41210 602 -18
157 204 590 41616 606 -16
158 205 596 42026 612 -16
159 206 602 42436 617 -15
160 207 608 42850 622 -14
161 208 614 43264 624 -10
162 209 620 43682 630 -10
163 210 625 44100 636 -11
164 212 631 44944 645 -14
165 213 637 45370 650 -13
166 214 643 45796 651 -8
167 215 649 46226 655 -6
168 216 656 46656 660 -4
169 217 662 47090 665 -3
170 218 668 47524 669 -1
171 219 674 47962 675 -1
172 220 680 48400 677 3
173 221 686 48842 685 1
174 222 693 49284 693 0
175 224 699 50176 708 -9
176 225 705 50626 712 -7
177 226 711 51076 715 -4
178 228 718 51984 728 -10
179 230 724 52900 735 -11
180 231 730 53362 740 -10
181 232 737 53824 746 -9
182 234 743 54756 754 -11
183 235 749 55226 757 -8
184 236 756 55696 763 -7
185 237 762 56170 768 -6
186 238 769 56644 775 -6
187 240 775 57600 787 -12
188 242 782 58564 797 -15
189 243 788 59050 802 -14
190 244 795 59536 809 -14
191 245 801 60026 811 -10
192 246 808 60516 815 -7
193 247 814 61010 821 -7
194 248 821 61504 825 -4
195 249 828 62002 827 1
196 250 834 62500 831 3
197 252 841 63504 840 1
198 253 848 64010 845 3
199 254 854 64516 849 5
200 255 861 65026 854 7
201 256 868 65536 860 8
202 258 875 66564 870 5
203 259 882 67082 874 8
204 260 888 67600 882 6
205 261 895 68122 885 10
206 262 902 68644 889 13
207 264 909 69696 900 9
208 265 916 70226 910 6
209 266 923 70756 915 8
210 267 930 71290 923 7
211 268 937 71824 930 7
212 270 944 72900 942 2
213 272 951 73984 948 3
214 273 958 74530 954 4
215 274 965 75076 960 5
216 275 972 75626 965 7
217 276 979 76176 970 9
218 278 986 77284 981 5
219 279 993 77842 987 6
220 280 1001 78400 989 12
221 282 1008 79524 999 9
222 284 1015 80656 1014 1
223 285 1022 81226 1024 -2
224 286 1029 81796 1029 0
225 287 1036 82370 1037 -1
226 288 1044 82944 1045 -1
227 289 1051 83522 1050 1
228 290 1058 84100 1054 4
229 291 1066 84682 1061 5
230 292 1073 85264 1067 6
231 294 1080 86436 1081 -1
232 295 1088 87026 1085 3
233 296 1095 87616 1094 1
234 297 1103 88210 1099 4
235 298 1110 88804 1106 4
236 299 1117 89402 1109 8
237 300 1125 90000 1116 9
238 301 1132 90602 1123 9
239 302 1140 91204 1131 9
240 303 1148 91810 1134 14
241 304 1155 92416 1140 15
242 305 1163 93026 1148 15
243 306 1170 93636 1155 15
244 308 1178 94864 1172 6
245 309 1186 95482 1177 9
246 310 1194 96100 1181 13
247 312 1201 97344 1192 9
248 314 1209 98596 1208 1
249 315 1217 99226 1218 -1
250 316 1224 99856 1223 1
251 318 1232 101124 1232 0
252 319 1240 101762 1238 2
253 320 1248 102400 1246 2

yangchuanju · 发表于 2026-5-21 18:40

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-5-21 18:51 编辑

合数连乘积4/2*6/4*8/6*9/7*…*c/(c-2)与偶数c^2或c^2+1内素数对数对比表
序号合数c 合数连乘积（取整）小偶c^2或c^1+1 小偶孪素合积-孪素
831 1000 8647 1000000 8169 478
8770 10000 489392 100000000 440312
90407 100000 31381783 10000000000 27412679 3969104

当合数较小时，一般来说合数连乘积不大于合数平方内的孪生素数对数；
当合数逐渐增大时，合数连乘积与合数平方内的孪生素数对数相比，逐渐由合数连乘积小于孪生素数对数变成大于孪生素数对数；
当合数再大些时，合数连乘积远大于合数平方内的孪生素数对数。

最小偶数取定为最大合数的平方或平方加1，最大偶数为下一个合数平方减2或减1；
即连乘积的最后一个合数是偶数平方根内的最大合数。

yangchuanju · 发表于 2026-5-22 19:41

鲁思顺孪生素数对数推导式
鲁思顺原推导过程——两筛之后的算式：
(n-)·1/2·1/3·3/5·5/7·9/11·……·(p-2)/p
=(n-2)/·1/2·1/3·2/4·3/5·4/6·5/7·……·(p-3)/(p-1)·(p-2)/p·4/2·6/4·8/6·9/7·……·(p-1)/(p-3)
=(n-2)·1/(p-1)·1/p·4/2·6/4·8/6·9/7·……·(p-1)/(p-3)
>4/2·6/4·8/6·9/7·……·q/(q-2).
(其中q为小于n的算术平方根的所有合数).

鲁思顺原推导式不完整，稍稍改写一下——
(n-2)*1/2*1/3*3/5*5/7*9/11*……*(p-2)/p
=(n-2)*1/2*1/3*2/4*3/5*4/6*5/7*……*(p-3)/(p-1)*(p-2)/p*4/2*6/4*8/6*9/7*……*(p-1)/(p-3)
=(n-2)*1/(p-1)*1/p*4/2*6/4*8/6*9/7*……*(p-1)/(p-3)
>4/2*6/4*8/6*9/7*……*q/(q-2).

第1行是一个基本的双筛连乘积表达式，1/2以后是奇素数连乘积∏(p-2)/p；
第2行将不连续的奇素数连乘积变成连续的正整数连乘积∏(d-2)/d，再乘以合数连乘积∏h/(h-2)，
式中d=3,4,5,6……p，h=4,6,8,9,10,12,14,15……,(p-1)；
第3行将正整数3-p之连乘积∏(d-2)/d变成奇数3-p之连乘积∏(e-2)/e乘以偶数4-(p-1)之连乘积∏(f-2)/f，
式中e=3,5,7,9……p，f=4,6,8……(p-1)；
奇数3-p之连乘积∏(e-2)/e等于1/3*3/5*5/7*7/9*……*(p-2)/p=1/p；
偶数4-(p-1)之连乘积∏(f-2)/f等于2/4*4/6*6/8*…...*(p-3)/(p-1)=2/(p-1)，再乘上前面的1/2便等于1/(p-1)了。
视第3行中的(n-2)*1/(p-1)*1/p=(n-2)/(p^2-3p+2)≥(p^2-1)/(p^2-3p+2)≥1，则有
第4行4/2*6/4*8/6*9/7*……*q/(q-2)即合数4-(p-1)之连乘积∏h/(h-2)，
最终孪生素数对数表达式应为G≥∏h/(h-2)，式中合数h=4,6,8,9,10,12,14,15……(p-1)；式中p是正整数n平方根内的最大素数。

孪生素数对数始终大于等于合数连乘积∏h/(h-2)吗？
这要从第1行的基本表达式看——
(n-2)*1/2*1/3*3/5*5/7*9/11*……*(p-2)/p只是约等于孪生素数对数G，
G≈(n-2)*1/2*1/3*3/5*5/7*9/11*……*(p-2)/p，不是等于号；
当正整数n较小时，连乘积小于G；当n逐渐变大后连乘积变得有时小于G，有时等于G，有时大于G；
当n继续变大后就统统是连乘积大于G了！
这就是鲁思顺孪生素数对数不小于合数连乘积的内在原因，
换言之鲁思顺的“小于n的孪生素数对不少于"（合数连乘积}4/2*6/4*8/6*9/7*……*q/(q-2)，不总是成立的！

yangchuanju · 发表于 2026-5-22 21:29

A007508
Number of twin prime pairs below 10^n.
1 2
2 8
3 35
4 205
5 1224
6 8169
7 58980
8 440312
9 3424506
10 27412679
11 224376048
12 1870585220
13 15834664872
14 135780321665
15 1177209242304
16 10304195697298
17 90948839353159
18 808675888577436

A146214
a(n) = (10^n)-th lower twin prime.
0 3
1 107
2 3821
3 79559
4 1260989
5 18409199
6 252427601
7 3285916169
8 41375648687
9 507575862527
10 6100479510551

yangchuanju · 发表于 2026-5-22 21:54

本帖最后由 yangchuanju 于 2026-5-23 05:29 编辑

整数根内最大素数合数连乘积孪生素数合数连乘积/孪生素数对数
10 3 1 2 0.5
100 7 3 8 0.375
1000 31 28.87 35 0.8249
10000 97 178.31 205 0.8698
100000 313 1201.74 1224 0.9818
1000000 997 8595.83 8169 1.0522
10000000 3137 62924.86 58980 1.0669
100000000 9973 486753.39 440312 1.1055
1000000000 31607 3869912.476 3424506 1.1301
10000000000 99991 31376135.48 27412679 1.1446
1E+11 316223 259460084.5 224376048 1.1564
1E+12 999983 2180382223 1870585220 1.1656

yangchuanju · 发表于 2026-5-23 05:35

整数根内最大素数素数连乘积孪生素数 n/2*∏(p-2)/p */孪生素数对数
10 3 0.333333333 2 1.666666667 0.833333333
100 7 0.142857143 8 7.142857143 0.892857143
1000 31 0.062091522 35 31.04576091 0.88702174
10000 97 0.038297041 205 191.4852055 0.934074173
100000 313 0.024611599 1224 1230.579941 1.005375769
1000000 997 0.017312631 8169 8656.315428 1.059654233
10000000 3137 0.012792683 58980 63963.41668 1.084493331
100000000 9973 0.009788832 440312 489441.6156 1.111579097
1000000000 31607 0.007747799 3424506 3873899.33 1.131228659
10000000000 99991 0.00627642 27412679 31382097.79 1.144802294
1E+11 316223 0.005189375 224376048 259468726 1.156401177
1E+12 999983 0.004360935 1870585220 2180467260 1.165660477
1E+13 3162277 0.003715923 15834664872 18579614186 1.173350642
1E+14 9999991 0.00320414 1.3578E+11 1.60207E+11 1.179898472
1E+15 31622743 0.002927398 1.17721E+12 1.4637E+12 1.243363586
1E+16 99999989 0.002453197 1.03042E+13 1.2266E+13 1.190387316

按素数连乘积计算值与孪生素数对数之比，比用合数连乘积计算的比值略微小一点！

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