一个猜想的漫长旅程：华林问题如何改变了数学

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一个猜想的漫长旅程：华林问题如何改变了数学

原创  小鹿思考力  小鹿思考力  2026 年 6 月 10 日 06:00  福建

1770 年，英国剑桥。

数学家爱德华·华林在《代数沉思录》中写下了一段话。那不是一段宣言，更像一段带着试探的记录。

每一个正整数，似乎都可以写成至多 9 个立方数之和；至于四次方，不超过 19 个。

他还进一步猜测：对于任意给定的幂次 k ，都存在一个固定的数目 s ，使得所有正整数都能表示为最多 s 个 k 次幂的和。

这就是后来被称为“华林问题”的起点。

华林本人并没有给出证明。他只是基于大量具体数字的验证，觉得这件事应该是真的。他把这个问题留在了书里，像一个没有被打开的盒子。

这一等，就是一个多世纪。

在随后一百多年里，华林问题并没有被完全遗忘，但也始终没有人能彻底解决。一些数学家——比如雅可比、刘维尔——做过零星的推进，他们验证了更大的范围，发现猜想仍然成立。但验证不是证明。无论你验证到一亿还是一兆，那都不是数学上“永远成立”的保证。

华林问题像一个被反复确认却始终解不开的谜。

转机：希尔伯特的存在性证明

这个转机出现在 1909 年。

那一年，德国数学家大卫·希尔伯特用一种出人意料的方式向这个问题发起了总攻。希尔伯特是当时数学界公认的领袖，1900 年他在巴黎国际数学家大会上提出的 23 个问题，几乎为 20 世纪的数学划出了一张导航图。

面对华林问题，希尔伯特没有选择去构造具体的数字，也没有试图找到最小的那个数目 s 。他做的第一件事，在直觉上甚至有些“绕路”：他只证明“存在”这样一个数目。

他利用高度抽象的代数方法，借助恒等式与积分技巧，给出了一个纯粹的存在性证明。换句话说，希尔伯特证明了：对于每一个k，确实存在一个 s ，使得每个正整数都能表示为最多 s 个 k 次幂之和。但他没有告诉你 s 具体等于多少。

这篇发表于 1909 年的论文，成为数学史上的一个经典。

它的意义在于：华林问题从此不再是“是否成立”的问题，而变成了“具体需要多少个”的问题。希尔伯特把门槛踩在了脚下，剩下的是更精细的工作。

方法奠基：哈代与利特尔伍德的圆法

接下来登场的是哈代和利特尔伍德。

戈弗雷·哈罗德·哈代是剑桥大学的教授，一位严谨而富有洞察力的数学家。约翰·利特尔伍德比他年轻八岁，两人在 20 世纪初形成了一对著名的搭档。他们的合作方式很特别：哈代写信，写长信，草稿往往潦草而跳跃；利特尔伍德负责拆解、修正、补全。两人像一架运转了数十年的精密仪器。

1918 年前后，他们开始系统研究华林问题。他们发明了一个后来成为解析数论基石的方法——圆法。

这个名字听起来有些诗意，但它的本质是一种非常技术性的转化。圆法的核心想法是：将一个关于整数的方程（比如“一个数能不能写成 s 个 k 次幂的和”），转化成一个沿着单位圆周的积分，然后用傅里叶分析的方法去估算这个积分的大小。

换句话说，哈代和利特尔伍德把华林问题从整数论的地面，抬到了复分析的高空。

他们用圆法取得了一系列突破。到 1920 年代，他们已经能够证明：对于足够大的整数，所需的项数 s 不会太大，并且给出了相当精确的上界。

但他们的早期证明有一个问题。在一处关键的推导中，他们不得不依赖一个自己尚未证明的假设——关于某些指数和估计的猜想。这个缺口让他们的证明不够彻底。

缺口填补：维诺格拉多夫的突破

最后填补这个缺口的人，来自俄罗斯。

伊万·维诺格拉多夫，1891 年出生，是一位自学成才的数学家。他的风格与哈代和利特尔伍德截然不同：哈代是剑桥的绅士，维诺格拉多夫则更加直接、强硬，没有那么多弯弯绕绕。

1930 年代，维诺格拉多夫发展了一套极为强大的指数和方法。他用这些方法重新处理了华林问题中的核心难点，完全绕开了哈代和利特尔伍德需要假设的那个缺口。他的估计是彻底的、无条件的。

1937 年，维诺格拉多夫证明了一个重要的结果：对于足够大的整数，表示成立所需的项数 s 可以取得比此前任何结果都更小的上界。虽然他没有完全解决华林问题——因为“足够大”意味着还有有限多个例外需要单独验证——但他把圆法从一个需要依赖假设的工具，变成了一个可以普遍使用的利器。

从此，华林问题进入了一个新的阶段。

问题的推进：两个关键的量

数学家们不再满足于存在性证明，而是开始精确计算两个关键的量。一个是 g(k) ，它表示所有正整数（包括很小的那些）所需的最多项数。另一个是 G(k) ，它表示所有足够大的正整数所需的最多项数，通常比 g(k) 更小，也更能反映问题的本质规律。

到 20 世纪中后期，g(k) 对于大多数 k 已经被完全确定。例如，人们早已知道 g(2)=4（每一个正整数可以写成四个平方数之和，而且有些数确实需要四个，比如 7 ）；g(3)=9 ；g(4)=19 。这与华林当年猜测的数字完全一致。

对于 G(k) ，问题要困难得多。目前已知 G(2)=4 ，G(3)=4（这意味着除了少量例外，每个整数可以写成四个立方数之和），而 G(4)=16 ，但更高次幂的精确值仍未完全确定。这是一个至今还在活跃研究中的领域。

华林问题的遗产：改变数学的工具

那么这个华林问题到底有什么用？

它的最大遗产，不是那些具体的数字，而是为了攻克它而被创造出来的数学工具。

圆法就是最典型的例子。哈代、利特尔伍德和维诺格拉多夫为华林问题锻造的这套方法，后来被应用于另一个更加著名的难题——哥德巴赫猜想。陈景润在 1973 年发表的“1+2”成果，正是在圆法的框架下取得的。那是哥德巴赫猜想研究两百年来最接近终极答案的时刻。

不仅如此，圆法的思想被进一步抽象和推广，催生了一个新的数学分支——加法组合学。这个领域的代表人物之一陶哲轩，在 2004 年与格林合作证明了一个轰动性的结果：素数集合中包含任意长的等差数列。这个证明中，可以清晰看到华林问题遗产的影子。

一个 1770 年提出的、看起来像智力游戏的问题，用了近两百年才被彻底激活。而它激活的方式，不是一个人灵光一现，而是一代又一代数学家接力完成的过程：华林抛出猜想，希尔伯特证明存在，哈代与利特尔伍德锻造方法，维诺格拉多夫将方法打磨成利器。

如今，当你看到“每一个正整数都能写成四个平方数之和”这条简洁的定理时，你可以知道：它背后站着华林、希尔伯特、哈代、利特尔伍德、维诺格拉多夫，以及此后无数在这条道路上添砖加瓦的人。

一个始于好奇的问题，最终长成了改变数学面貌的大树。

这大概就是纯数学最迷人的地方：它看起来在解决一个“没用”的问题，但在这个过程中创造出来的工具，却会在几十年甚至上百年后，照亮完全意想不到的远方。

小鹿思考力

coolboy

记得第一次听说“华林问题”是说这一问题也是数学家华罗庚的研究及贡献的标记，类似于陈景润关于哥德巴赫猜想的研究及贡献是他的标记一样。
华罗庚后来在“文革”中主要从事“优选法”的研究工作。其实，用目前时髦的术语来讲他当时所做的就是一种“躺平”式的研究工作。
“优选法”若按optimization的思路翻译，则在英文文献中找不到华罗庚所做的对应研究工作。实际的研究领域在西方其实被称之为试验设计（experimental design）。