佩尔-卢卡斯数列连续四项积加4恒为平方数

朱明君

佩尔-卢卡斯数列连续四项积加4恒为平方数

定义：
L_n = ((1+√2)^n + (1-√2)^n) / 2。
L1=1, L2=3, L3=7, L4=17, L5=41, L6=99, L7=239，依此类推。

定理：
L_n·L_{n+1}·L_{n+2}·L_{n+3} + 4 = (L_n L_{n+1} + L_{n+2} - L_{n+1}^2)^2。
右端为完全平方数。
证明：代入递推式 L_{n+2} = 2L_{n+1} + L_n 展开即得。

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