不收敛也能计算：形式幂级数不是函数

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不收敛也能计算：形式幂级数不是函数

原创  MoMo 酱的 PA  数学猫 MoMo 酱  2026 年 7 月 1 日 12:15  上海



这一篇从  Aigner , A Course in Enumeration , Chapter 2 : Formal Series and Infinite Matrices 的第一组习题开始。第 2 章表面上讲 generating functions ，真正要建立的却是一种更深的习惯：不要急着把级数看成函数，而要先把它看成一个可以代数运算的对象。

很多人第一次学生成函数时，会有一个隐隐的不安：

这些无穷级数真的收敛吗？

如果不收敛，我们凭什么加、乘、求导，甚至还能取对数、开平方、求复合逆？



题目原文



1. 为什么卷积会变成平方？



2. 这一步为什么是生成函数思想的核心？



3. 复合逆：为什么线性项决定一切？



4. 为什么这里不是普通的“函数反函数”？



5. 形式对数：为什么还能求导？



6. 为什么 m log(1+z) = log[(1+z)^m] 仍然成立？



7. 这一组题真正训练什么？



8. 更深一层：形式幂级数为什么会反复出现？



读者可以继续想一想



核心英文名词与中文对照



数学猫 MoMo 酱