那个被希尔伯特列入世纪难题清单的中学老师，被集体投票出局，百年后却在弦论中复活

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那个被希尔伯特列入世纪难题清单的中学老师，被集体投票出局，百年后却在弦论中复活

原创  南方 Er  南方 Er  2026 年 7 月 11 日 11:40  广东


舒伯特

1901 年，汉堡数学学会的会议室里，一次看似走形式的投票正在进行。候选人是为学会服务了二十五年的资深会员，丹麦皇家科学院金质奖章获得者——赫尔曼·凯撒·汉尼拔·舒伯特（Hermann Casar Hannibal Schubert）。

按常理，荣誉会员的头衔几乎该是全票通过。结果公布时在场不少人怔住了：12 票反对，2 票赞成。一个自己人，被自己人否决了。几年后，舒伯特干脆退出了学会。1911 年去世之前，这个亲手为几何学装上“计数器”的人，在学术圈里活得像个边缘人。

说起来，这和他贴了半辈子的标签脱不开关系：他不是什么大学教授，而是一名在中学教了三十多年书的——中学教师。一个中学老师，凭什么在数学史上留下名字？故事得从更早的柏林讲起。

旅店老板的儿子，和那十六个神奇的球

赫尔曼·舒伯特的起点，跟人们想象中的数学天才有点不一样。他父亲在波茨坦开旅店，往来的无非是商人、车夫、偶尔歇脚的旅客，跟公式定理没什么关系。小舒伯特先在波茨坦读文理中学，后来转到施潘道完成学业，怎么看都是一个循规蹈矩的普鲁士少年。

1867 年，他进入柏林大学，一开始学的是数学和物理，随后溜达到了哈雷大学，1870 年凭一篇关于“特征理论”的博士论文毕了业。


舒伯特

等等，特征理论——这是什么？实际上，远在博士论文动笔之前，年轻的舒伯特已经在琢磨一个问题了，一个美得有点不真实的问题：平面上三个圆，两两相切，能画出多少个同时跟这三个圆相切的圆？古希腊的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）早就给出过答案：八个。



那，要是把圆换成球呢？四个球，彼此相切，得有多少个球能同时摸到它们？舒伯特算出来了：十六个。他把这项工作写成两篇论文，大大方方地把它当作博士论文的前奏。

这种从圆到球、从平面到空间的跃迁，正是他日后那套“数数”本领的第一次亮相——在一个看似无穷连续的世界里，硬是把有限的答案精准地数出来。这个惊艳的开场，让他几乎是一毕业就在枚举几何这个小圈子里站稳了脚跟。

一套让希尔伯特惦记的“数数”功夫

博士到手了，舒伯特没往大学里钻。他去考了教师资格，1872 年被派到希尔德斯海姆的安德烈亚努姆文理中学当老师。一年后娶了安娜·哈默尔，后来有了四个女儿。

1876 年，他搬到汉堡，进了约翰纽姆文理中学，那是一所赫赫有名的人文学校。说件有意思的事：二十年前，莫比乌斯（August Ferdinand Mobius）——就是那个弄出一条扭来扭去带子的莫比乌斯——也在这同一所学校教过书。舒伯特在这里一待就是三十多年，1887 年升任教授，当然，是中学里的教授衔，不是大学讲席。

可就是这位窝在中学校园里的教书先生，在1874年狠狠惊艳了整个数学圈。丹麦皇家科学院悬赏求解一个难题——由丹麦数学家楚滕（Hieronymus Georg Zeuthen）提出的、关于三次空间曲线特征理论的扩展——舒伯特把它漂漂亮亮地解决了。金质奖章落进他手里，那年他才二十六岁。他凭什么？凭的是一套日后被称为“数的守恒原理”的独门功夫。

这到底是在干什么？想象一下：一堆代数方程纠缠在一起，你想知道它们究竟有多少组解。直接去解，在绝大多数情况下根本下不了手，像一团打死结的渔网。彭赛列（Jean-Victor Poncelet）早先提出过一个有点哲学味儿的想法，叫“连续性原理”：把方程里的系数慢慢地、连续地变动，让那些纠缠不清的解跟着迁移，最终变出一个容易数清解的情形，再把答案“搬”回去。想法很美，但当时缺乏严格的论证，有点像个高妙的戏法。


舒伯特

舒伯特接手了这个戏法，又揉进了沙勒（Michel Chasles）的对应原理，更妙的是，他搬来恩斯特·施罗德（Ernst Schroder）的逻辑演算当作骨架，硬是给这套数数的手艺搭出了一整套可以操作的演算系统。

这套系统核心是一套“特殊位置原理”：你要算某个复杂情况下的几何对象个数，别硬算。把它们平滑地“退化”到一个极端简单、几乎拆解开来的特殊位置上，关键计数不会丢失，你只要在退化图景里把个数算清楚，答案原封不动地搬回去，就解了原来那道难题。

打个比方，面前有张弯弯绕绕的地图，想知道两条路线有多少交叉点，如果真去一个一个描，累死不说还容易漏。舒伯特试图给你一套公式，代入几个关键数字，答案就出来了，像用条形码扫过密密麻麻的货架，滴一声，总数即现。


克莱因

舒伯特把这套方法称为“数的守恒原理”。他的工作很快引起了费利克斯·克莱因（Felix Klein）的注意。克莱因自视为阿尔弗雷德·克莱布什（Alfred Clebsch）的学术继承人，而舒伯特搞的那套综合几何，本来正是他们这一派的地盘。

1876 年，克莱因二话不说，在自己主编的《数学年刊》上为舒伯特腾出了足足 116 页，刊发《计数几何论稿》。这分明是在向学界亮明姿态：这个没进过大学讲坛的人，干的是正经的前沿研究。1879 年，舒伯特将方法进一步扩充，出版了专著《枚举几何演算法》（也译作《计数几何演算法》），把早先的特殊位置原理扩展成更普适的数量守恒原理，后人干脆把这一整套方法称为“舒伯特演算”。


舒伯特与专著《计数几何演算法》

在书里，舒伯特把他的基本问题说得相当清楚：假设你有一大堆依赖 k 个参数的几何对象，你怎么能精准地断言两个子集会交出多少个共同对象？他的办法是给每个子集指派一组“特征数”——也就是它跟某些事先选定的基本集合相交的个数——然后靠一套演算规则，从特征数反推出任意两个子集的相交数目。

举一个例子，也许更容易体会这套手艺的妙处。三维空间里有两簇直线，一簇的“阶”是 a 、“级”是 b ，另一簇的“阶”是 a′ 、“级”是 b′ 。你能一眼看出这两簇直线一般有多少条公共线吗？舒伯特用他的演算直接给出答案：aa′ + bb′ 。这就是哈尔芬定理（Georges Halphen），一种三维空间里的贝祖定理（Etienne Bézout）变体，干净、利落。

这算不算严格？说实话，当时不算。舒伯特自己宣布的那个原理，后来被施图迪（Eduard Study）找出了反例，说明字面意义上的陈述是错的。奇怪的是，舒伯特每次动手用它的时候，却又从不失手。他似乎有一种极敏锐的直觉，知道在什么样的边界内，那套原理才真的靠得住。


希尔伯特与第 15 个问题

大卫·希尔伯特（David Hilbert）在 1900 年巴黎那场著名的演讲里，把为舒伯特的计数演算寻找严格证明列为第 15 个问题，等于是冲着整个数学界喊了一句：请给这位中学老师的绝活一个名分。

1912 年，意大利人塞韦里（Francesco Severi）给出了证明。而舒伯特当年用这种不完美手法得到的一大堆计数结果，在沉寂多年之后，竟被一一重新确认。这大概比什么都更能说明问题：他的方法或许粗糙，但他数出来的数，没错。

时钟走了将近一个世纪。这本满是十九世纪几何味的老册子，在二十世纪尾巴上被一群理论物理学家从故纸堆里刨了出来。核心问题竟奇妙地对接上了：计数几何要找的，正是满足特定条件的有理曲线数目。而这类问题，恰好从弦理论里往外冒——就是那个试图把粒子物理标准模型和引力撮合到一起，野心大到想包揽自然界所有基本力的框架。那些拼了命要求的“数目”，和格罗莫夫（Mikhail Gromov）–威滕（Edward Witten）不变量紧紧纠缠在一起。

于是舒伯特的研究在 1970 年代猝不及防地复活了。

恰好初版整整一百年后的 1979 年，《计数几何演算》重印再版，卷首添了一篇由史蒂文·L·克莱曼（Steven L. Kleiman）撰写的前言。一本沉睡了百年的中学教师手笔，忽然就成了前沿物理争相翻阅的东西，这反差，放任何时代都够戏剧化。



不去大学，是他这辈子最舒伯特的决定

说起来，舒伯特待在中学的这些年，并没有跟数学前沿断了联系。他是法国数学会的会员，又是荷兰皇家科学院的荣誉会员，跟克莱因、洛里亚（Gino Loria）、赫尔维茨（Adolf Hurwitz）这些当时最活跃的几何学家长期通信。一个拒绝大学讲席的人，信件却早已飞进了欧洲各大数学重镇。希尔伯特列问题清单的时候，收信人的身份大概没人在意——他们只在意他数出来的那些数。


1890 年德国科学家大会数学分会合影

那么问题就来了：他厉害成这样，怎么还在中学待着？难道真没有人来请他？事实恰恰相反。好几所大学对他伸过橄榄枝，他全推掉了。理由出奇地简单，也出奇地固执——他不想离开汉堡。

汉堡那会儿还没有大学，只有一座成立于 1690 年的汉堡数学学会，那是现存最古老的数学学会，至今还在。舒伯特跟这座学会的关系，就像一个街角老棋手跟他常去的棋社。他在学会的刊物上发表了不少论文，有讨论，有切磋，有那种不赶着发文章、纯粹为了脑筋快活的交流。



汉堡当局也看中他的本事，专门请他给在职教师开设成人进修课程，把数学的各个分支从头到尾讲给那些已经站在讲台上的同行听。对一个把数学当享受的人来说，这些也许比大学里的头衔和资源更对他的胃口。

然而，舒伯特绝不是一个八面玲珑的圆融之人，这大概就是解开那场投票之谜的钥匙。

1890 年德国数学家联合会（DMV）在克莱因的策划下成立时，舒伯特是 33 名创始会员之一，并且直接当选了首任理事会成员。可短短三年后他就退出了理事会，理由是无法请假参加年会——这听着像托辞，毕竟当初应选时就知道需要参会。之后他与 DMV 的关系一直不冷不热。

1901 年，当德国自然研究者与医生协会在汉堡召开，由他主持数学-天文分会时，他压根儿没跟 DMV 协调，全程自行其是。而在同一年，他在汉堡数学学会遭遇了那场 2 票赞成、12 票反对的羞辱。

是不懂为人？是不愿妥协？或许都有。一个敢公然讽刺“非职业头脑”的人，在自己人也犯起浑时，又能指望得到多少包容呢？

写教科书，编消遣，还惹毛了弗雷格

舒伯特一辈子发表了六十三部著述，包括好几本沉甸甸的书。他不光是研究者，更是个超级勤奋的写作者。他主持编辑了一套《舒伯特文集》教科书系列，自己动笔写了《算术与代数》和《低等分析》，还编了一本厚重的数学用表，里面塞满了常用对数、三角函数、死亡率表格什么的。这些活儿，大学里的研究教授通常不大会做，或者说，没那个耐心做。舒伯特做得津津有味。

但他写得最开心的，大概要数那本 1897 年初版的《数学闲暇时光》。这本书后来扩成三卷，到他去世后还在不停再版，1967 年居然出到了第十三版。1903 年，英译本问世，书名变成《数学随笔与消遣》。翻翻目录：幻方，四维空间，化圆为方的历史——全都不急着教你考试，也不急着帮你发文章。

译者在序言里说得挺实在：这些文章“简单、通俗，是写给大众看的”，但里面“融入了舒伯特本人大量原创研究”。一个在最前沿的枚举几何里数解数得让希尔伯特都惦记的人，转过头来能兴致勃勃地跟你解释幻方怎么填、第四维该怎么想象，这种跨度本身就迷人得不得了。


弗雷格

当然，也不是人人都买账。大逻辑学家弗雷格（Gottlob Frege）就对舒伯特关于“数”的哲学观点极其看不惯，1899 年专门写了篇《论 H. 舒伯特先生的数》，讽刺得又狠又刻薄，有些段落读起来甚至像高级的骂街。

弗雷格这篇文章科学上的杀伤力有限，但足以说明一件事：舒伯特踩中的，不光是数学技巧的开关，还触动了某些关于“数到底是什么”的根本焦虑。这大概就是中学老师跟哲学大佬之间，那种说不清道不明的冲突吧。

瘫痪的晚年，和始终站着的遗产

1905 年起，舒伯特的身体开始出问题。循环系统的疾病慢慢吞噬他的力气，四肢一点一点失去知觉。他撑到了 1908 年，六十岁，正式退休。

人生的最后几年，他完全瘫痪了，于 1911 年 7 月 20 日在汉堡离世。

一个一生都在“数数”的人，最后连手指都动不了。这听上去有点残酷。可话说回来，他数的那些东西——有限个解，确切而不容置疑的数目——反而在数学世界里立得越来越稳。他的计数演算后来成了枚举几何的基石，而汉堡这座城市，也终于在 1919 年拥有了自己的大学。



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