日本定理：ABCD 是圆内接四边形，证明 ΔABC,ΔBCD,ΔCDA,ΔDAB 的内心连成一个矩形

dodonaomikiki

具体请看图片

dodonaomikiki

该定理，最早发现于1800年的日本山形县的一块石碑上！
并在现代期刊《Pi    in  the   sky》中展开拉讨论！

dodonaomikiki

以下资料摘自网络，或许可用于参考！



经典证明方法
现有研究已验证多种有效的证明路径：
借助Carnot定理结合改良形式的托勒密定理完成推导，该方法在七边形等扩展场景下表现出更强的适用性，可直接证明“从所有顶点引出对角线形成的三角形的内切圆半径之和保持相等”这一结论
ijmttjournal.org
。
从共圆四边形的特殊情形出发，通过反复“翻转”对角线的操作，证明每次变换都不会改变内切圆半径的总和，最终可将一般共圆多边形的情形转化为四边形的推论完成证明。
2004年Ahuja、Uegaki与Matsushita联合发表的系列论文，系统整理了该定理的多种初等证明思路，相关成果刊载于《Missouri Journal of Mathematical Science》
ijmttjournal.org
。
研究历史与延伸拓展
该定理的起源与历史脉络由数学家Wataru Uegaki（植木航）​ 在2001年的专项研究中完成系统梳理，相关成果发表于三重大学教育学部研究纪要中，是目前该领域最权威的溯源文献。 后续研究还将该定理的适用场景拓展到了复数平面体系中，大岛利雄2023年在城西大学的数学教育纪要中，正式发表了复数平面框架下的日本定理相关成果，进一步拓宽了定理的应用边界

dodonaomikiki

网路上寻觅到一张示意图，
很漂亮

kanyikan

好像是某年女子数学竞赛中的一道题。就其难度来讲，还达不到竞赛难度。

dodonaomikiki

kanyikan 发表于 2026-8-6 19:31
好像是某年女子数学竞赛中的一道题。就其难度来讲，还达不到竞赛难度。

女子数学竞赛，不是竞赛啊？
你自己做得出来吗？
口气不要太大！说话不要不到逻辑！



做出来之前，
请尽量不要胡吹海吹，
不放端正学习态度！踏踏实实一点！

dodonaomikiki

不晓得这是不是1986年的全国数学奥林匹克题目？
请看

dodonaomikiki

过去太久啦，
字迹都变得糊糊的

luyuanhong

楼上 dodonaomikiki 转发的帖子很好！已收藏。

dodonaomikiki

稍微整理一哈
因为过去岁月太久啦，字迹模糊看的眼睛酸疼！

\(
Proof:               \\
(   ABCD)内接于园            \\
\Longrightarrow                        \angle    ADB= \angle    ACB            \\

\Longrightarrow   

  \angle    ABC+ \angle    B AC           \\
= \angle    ABD+ \angle    CBD+\angle    B AC          \\
= \angle    ABD+ \angle   DAC+\angle    B AC         \\
= \angle    ABD+ \angle   DAB         \\
\Longrightarrow       \angle    I_{C}B I_{D}= \angle    I_{C}AI_{D}           \\







\Longrightarrow      (     AB I_{D}  I_{C} )内接于园         \\
\Longrightarrow  
\angle    I_{C}I_{D}  B=\pi- \angle   BA I_{C}=\pi-\frac{ \angle   BAD   }{2    }         \\
同样道理         \\

\angle    I_{A}I_{D}  B=\pi- \angle    I_{A}CB=\pi-\frac{ \angle   DCB   }{2    }         \\

   

  又   \angle     I_{C}I_{D}  B+     I_{A}I_{D}  B           =\pi  - \frac{ \angle   BAD   }{2    }          \pi  -  \frac{ \angle   DCB   }{2    }          \\
=2\pi- \frac{ \angle   BAD+    \angle   DCB     }{2    }           \\
=2\pi-90°         \\
= \frac{ 3\pi   }{2    }          \\
\Longrightarrow    I_{C}I_{D}  A= \frac{ \pi  }{2    }         \\  





链接AI_{D}  ,B I_{C}        ,A I_{C}             ,BI_{D}             \\
  \Longrightarrow            \\
  I_{C}BI_{D}=\angle    ABI_{D}-\angle    AB  I_{C}            \\
= \frac{ \angle   ABC-    \angle   ABD     }{2    }             \\
  \Longrightarrow         \\
I_{C}AI_{D}=\angle   I_{C} AB-\angle     I_{D}AB            \\
= \frac{ \angle   DAB-    \angle  C AB     }{2    }             \\
同理，\angle I_{D} I_{A} I_{B}                    =\angle       I_{B}  I_{C}  I_{D}          =\angle   I_{A} I_{B}  I_{C}            \\   
\Longrightarrow (          I_{A} I_{B}  I_{C}  I_{D}为矩形  )


...\)