欧拉常数及其在求素数个数、哥猜素数对中的应用

yangchuanju

欧拉常数及其在求素数个数、哥猜素数对中的应用
欧拉常数，即欧拉-马斯刻罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)，一般用希腊字母γ表示，读音 gamma，
欧拉-马斯刻罗尼常数γ是数学中的一个重要常数，定义为调和级数与自然对数之差当项数趋于无穷时的极限，其近似值为γ≈0.57721；
更精确一些是——γ=0.577215664901532860606512090082402431042...

yangchuanju

欧拉常数常常作为自然对数e的指数或负指数，形成另一个复合常数——梅滕斯常数e^γ或e^(-γ)，应用在求素数个数的连乘积计算式之中，
梅滕斯常数e^γ=1.7810724179901979852365041031071795491696452143034302053...

求素数个数的连乘积x*∏(1-1/p)筛至整数x平方根内最大素数p时，一般大于真实素数个数，随着x的增大，偏差（波动式的）增大，
当x相当大并趋近于无穷大时，偏差趋近于根据2*e^(-γ)≈1.12291896713377；

类似的，在求给定偶数n的哥猜素数对数在用连乘积计算式n/2*∏(1-2/p)*∏(p-2)/(p-1)时，连乘积计算值也是一般大于真实素数对数的，随着n的增大，偏差（波动式的）增大，
当n相当大并趋近于无穷大时，偏差趋近于根据[2*e^(-γ)]^2≈1.26094700674877。

yangchuanju

求素数个数的连乘积x*∏(1-1/p)筛至整数x平方根内最大素数p时，一般大于真实素数个数；当x相当大并趋近于无穷大时，根据梅滕斯定理需除以一个常数2*e^(-γ)≈1.12291896713377；

求给定偶数n的哥猜素数对数在用连乘积计算式n/2*∏(1-2/p)*∏(p-2)/(p-1)时，连乘积计算值也是一般大于真实素数对数的，当n相当大并趋近于无穷大时，需除以一个常数[2*e^(-γ)]^2≈1.2609470067487。
亦或在用连乘积计算式求算给定偶数哥猜素数对数时，连乘积存在的最大偏差不超过真实哥猜素数对数的1.261倍。

鲁思顺不是喜欢用连乘积计算式证哥猜吗？
据此鲁思顺在用连乘积计算哥猜数时其加强（打折）系数8/9=0.8889是不够的，最好打7折，或5折，以确保不会再有反例存在。

yangchuanju

几组不同偶数的哥猜连乘积——随着偶数的不断增大，连乘积计算式的误差逐渐增大：                                                       
n        10^n        最大素数        连乘积        波动因子        哥猜数        连乘哥数        连乘/哥数
1        10        3        0.3333         1.3333         2        1.11         0.5556
2        100        7        0.1429         1.3333         6        4.76         0.7937
3        1000        31        0.0621         1.3333         28        20.70         0.7392
4        10000        97        0.0383         1.3333         127        127.66         1.0052
5        100000        313        0.0246         1.3333         810        820.39         1.0128
6        1000000        997        0.0173         1.3333         5402        5770.88         1.0683
7        10000000        3137        0.0128         1.3333         38807        42642.3         1.0988
8        100000000        9973        0.0098         1.3333         291400        326294.4         1.1197
9        1000000000        31607        0.0077         1.3333         2274205        2582599.6         1.1356
10        10000000000        99991        0.0063         1.3333         18200488        20921398.5         1.1495
11        1E+11        316223        0.0052         1.3333         149091160        172979150.7         1.1602
12        1E+12        999983        0.0044         1.3333         1243722370        1453644840        1.1688
13        1E+13        3162277        0.0037         1.3333         10533150855        12386409457        1.1759
14        1E+14        9999991        0.0032         1.3333         90350630388        1.06805E+11        1.1821
15        1E+15        31622743        0.0028         1.3333         783538341852        9.30385E+11        1.1874
16        1E+16        99999989        0.0025         1.3333         6852674128787        8.17732E+12        1.1933

n        2^n        最大素数        连乘积        波动因子        哥猜数        连乘哥数        连乘/哥数
1        2        1        1        1        0        0.50         ——
2        4        1        1        1        1        1.00         1
3        8        1        1        1        1        2.00         2
4        16        3        0.3333         1        2        1.33         0.6667
5        32        5        0.2000         1        2        1.60         0.8000
6        64        7        0.1429         1        5        2.29         0.4571
7        128        11        0.1169         1        3        3.74         1.2468
8        256        13        0.0989         1        8        6.33         0.7912
9        512        19        0.0781         1        11        9.99         0.9086
10        1024        31        0.0621         1        22        15.90         0.7225
11        2048        43        0.0533         1        25        27.27         1.0910
12        4096        61        0.0459         1        53        46.96         0.8861
13        8192        89        0.0391         1        76        80.08         1.0537
14        16384        127        0.0343         1        151        140.42         0.9300
15        32768        181        0.0297         1        244        243.52         0.9980
16        65536        251        0.0266         1        435        435.97         1.0022
17        131072        359        0.0236         1        749        773.97         1.0333
18        262144        509        0.0210         1        1314        1379.05         1.0495
19        524288        719        0.0190         1        2367        2492.87         1.0532
20        1048576        1021        0.0172         1        4239        4502.75         1.0622
21        2097152        1447        0.0156         1        7471        8199.61         1.0975
22        4194304        2039        0.0142         1        13705        14940.18         1.0901
23        8388608        2887        0.0130         1        24928        27332.03         1.0964
24        16777216        4093        0.0120         1        45746        50250.88         1.0985
25        33554432        5791        0.0111         1        83467        92768.98         1.1114
26        67108864        8191        0.0102         1        153850        171677.74         1.1159
27        134217728        11579        0.0095         1        283746        318591.20         1.1228
28        268435456        16381        0.0088         1        525236        592129.21         1.1274
29        536870912        23167        0.0082         1        975685        1104308.73         1.1318
30        1073741824        32749        0.0077         1        1817111        2065494.79         1.1367
31        2147483648        46337        0.0072         1        3390038        3869035.92         1.1413
32        4294967296        65521        0.0068         1        6341424        7263389.60         1.1454
33        8589934592        92681        0.0064         1        11891654        13658932.7         1.1486
34        17179869184        131071        0.0060         1        22336060        25737053.3         1.1523
35        34359738368        185363        0.0057         1        42034097        48581542.3         1.1558
36        68719476736        262139        0.0053         1        79287664        91848700.0         1.1584
37        1.37439E+11        370723        0.0051         1        149711134        173898027.1         1.1616
38        2.74878E+11        524287        0.0048         1        283277225        329731632.5         1.1640
39        5.49756E+11        741431        0.0046         1        536710100        626130752.0         1.1666
40        1.09951E+12        1048573        0.0043         1        1018369893        1190494225.7         1.1690

p        p#        最大素数        连乘积        波动因子        哥猜数        连乘哥数        连乘/哥数
2        2        1        1        1        0        0.50         ——
3        6        1        1        1        1        1.50         1.5000
5        30        5        0.2        2.666666667        3        4.00         1.3333
7        210        13        0.0989         3.2        19        16.62         0.8745
11        2310        47        0.0510         3.555555556        114        104.73         0.9187
13        30030        173        0.0304         3.878787879        905        885.18         0.9781
17        510510        709        0.0191         4.137373737        9493        10070.92         1.0609
19        9699690        3109        0.0128         4.380748663        124180        136157.57         1.0965
23        223092870        14929        0.0090         4.589355742        2044847        2302808.4         1.1262
29        6469693230        80429        0.0065         4.759331881        43755729        50200067.0         1.1473
31        2.0056E+11        447829        0.0049         4.923446773        1043468386        1213390098.8         1.1628
37        7.42074E+12        2734099        0.0038         5.064116681        30309948241        35598549191.1         1.1745

n        n!        最大素数        连乘积        波动因子        哥猜数        连乘哥数        连乘/哥数
1        1        1        1        1        0        0.25        ——
2        2        1        1        1        0        0.50         ——
3        6        1        1        1        1        1.50         1.5000
4        24        3        0.3333         2        3        4.00         1.3333
5        120        7        0.1429         2.6667         12        11.43         0.9524
6        720        23        0.0713         2.6667         39        34.22         0.8774
7        5040        67        0.0445         3.2000         184        179.39         0.9750
8        40320        199        0.0285         3.2000         951        920.10         0.9675
9        362880        601        0.0201         3.2000         5531        5833.12         1.0546
10        3628800        1901        0.0145         3.2000         38713        42122.38         1.0881
11        39916800        6317        0.0108         3.5556         346207        384431.58         1.1104
12        479001600        21881        0.0083         3.5556         3130812        3543861.66         1.1319
13        6227020800        78901        0.0065         3.8788         34444964        39509420.8         1.1470
14        87178291200        295259        0.0052         3.8788         382437428        443476810.1         1.1596
15        1.30767E+12        1143529        0.0043         3.8788         4637235145        5423905489.1         1.1696

yangchuanju

用连乘积求算素数个数时的误差变化

整数        根内最大素数        连乘积        素数个数        连乘积/个数
10        3        0.333333333        4        0.833333333
100        7        0.228571429        25        0.914285714
1000        31        0.152852151        168        0.909834234
10000        97        0.12031729        1229        0.978985276
100000        313        0.096519387        9592        1.006248822
1000000        997        0.080965264        78498        1.031430909
10000000        3137        0.069601396        664579        1.047300556
100000000        9997        0.060884692        5761455        1.056758969
1000000000        31607        0.054166822        50847534        1.06527924
10000000000        99991        0.048752918        455052511        1.071369055
1E+11        316223        0.044330462        4118054813        1.076490343
1E+12        999983        0.04063821        37607912018        1.080576081
1E+13        3162277        0.037512684        3.46066E+11        1.083976311
1E+14        9999991        0.034833775        3.20494E+12        1.086876993

wangyangke

实话实说：yangchuanju蹦蹦跳跳，其在哥德巴赫猜想方面，与鲁思顺不相上下或者相当。

yangchuanju

当正整数较大时，筛分至整数平方根以内时的素数连乘积无法精确计算，该整数以内的素数个数也无法精确计算，连乘积计算式失去计算价值，
幸好先人们研究出素数定理公式，可用于计算大整数以内的素数个数——π(x)≈x/ln(x)，由于按素数定理计算出的计算值一般小于真实的素数个数值，
因此当用素数定理计算值代替素数个数值时，连乘积与（素数定理）素数个数的比值要变得大一些。
不过，当整数不断增大并趋近于无穷大时，素数定理计算值趋近于它的真实素数个数值，
因而，当整数不断增大并趋近于无穷大时，连乘积计算值与素数定理计算值之比也应该不超过2*e^(-γ)≈1.12291896713377≈1.123。

类似的，当正偶数较大时，筛分至偶数平方根以内时的素数连乘积无法精确计算，该偶数的素数对数也无法精确计算，连乘积计算式失去计算价值，
幸好先人们研究出对数计算式，可用于计算大偶数的哥猜素数对数——r(n)≈2c*n/ln(n)^2，由于按对数计算出的计算值一般小于真实的素数对数值，
因此当用对数计算式计算值代替素数对数值时，连乘积与（对数计算式）素数对数的比值要变得大一些。
不过，当偶数不断增大并趋近于无穷大时，对数计算式计算值趋近于它的真实素数对数值，
因而，当偶数不断增大并趋近于无穷大时，连乘积计算值与对数计算式计算值之比也应该不超过
[2*e^(-γ)]^2≈1.26094700674877≈1.261。