朱火华新二维平面图体系

朱明君

朱火华新二维平面图体系

（广义平面画法体系）

一、体系总定位

本体系研究二维平面上的图画法，允许边交叉，交叉点不计入节点。
为与标准图论中“平面图不允许交叉”相区别，本体系亦可称为：广义平面画法体系。

体系分为两类图：

1. 第一类：普通图
      无交叉、连通的广义平面画法图，允许至多一对重边、至多一个自环。
2. 第二类：完全图 K_n
      n 个顶点两两相邻的完全图，允许边交叉，交叉点不计入节点。

两类图分别使用不同公式，互不冲突。

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二、第一类：普通图

1. 普通图定义条件

普通图类满足以下条件：

· 顶点数 n >= 2；
· 图连通；
· 无交叉平面嵌入；
· 允许至多一对重边；
· 允许至多一个自环；
· 外部边界顶点数记为 m，要求：1 <= m <= n。

孤立点、无边图、不连通图不进入普通图连续区间，作为独立退化类处理。

2. 环模三角剖分基底

当所有 n 个顶点都在外环上，并完成外环三角剖分时：

m = n

a = n - 2

e = 2n - 3

此状态称为普通图构造的基底状态。

3. 普通图外弦内化通式

从基底出发，通过外弦内化，外部边界顶点数 m 逐步减少，得到普通图面数与边数通式：

a = 2n - m - 2

e = 3n - m - 3

其中：

· a 为面数，不含外部无限面；
· e 为边数；
· m 为外围边界节点数，满足：1 <= m <= n。

4. 普通图边数连续区间

由通式可得，普通图边数 e 落在连续正整数区间：

e 属于 [n - 1, 3n - 4]

该区间内整数个数为：

(3n - 4) - (n - 1) + 1 = 2n - 2

因此，普通图规范代表图数为：

P_普通 = 2n - 2

这里的 P_普通 表示每个边数值对应一张规范代表图，不是全部同构图总数。

5. 普通图外环演化序列

· m = n：全外环三角剖分基底，e = 2n - 3
· m = n - 1 到 m = 3：普通多边形外环，e 属于 [2n - 2, 3n - 6]
· m = 2：二边形重边外环，e = 3n - 5
· m = 1：单节点自环退化外环，e = 3n - 4

普通图边数上界为：

e_max = 3n - 4

6. 四条完整双向对称构造路径

以下四条路径针对普通图类，覆盖普通图边数连续区间。
涉及交叉的操作仅作为构造过程描述，最终普通图规范代表图保持无交叉。

路径一：基底正向添边——外弦内化

从基底 e = 2n - 3 持续添边，直达边数上界 e = 3n - 4。

操作：外环选取两不相邻节点连弦，将一枚外环节点拉入内部。总节点数 n 不变，m 减 1，内部节点加 1，面数 a 加 1，边数 e 加 1。

经过 n - m 次外弦内化，得到普通图通式：

a = (n - 2) + (n - m) = 2n - m - 2

e = (2n - 3) + (n - m) = 3n - m - 3

路径二：基底逆向减边——内弦外化

从基底 e = 2n - 3 持续减边，直达边数下界 e = n - 1，即连通树。

操作：将内部弦向外拆解外化，内部节点回归外环。
m 加 1，a 减 1，e 减 1。

路径三：普通图全域正向完整构造

从下界树 e = n - 1 逐次添边，途经基底，直达上限 3n - 4，覆盖全部普通图区间。

在同一边数值 e 对应的同构图族中，选取唯一一张规范图作为链节。
添边操作在该规范图间进行，整条构造链无分叉，确保每个整数边数对应唯一指定的合法状态。

路径四：普通图全域逆向完整构造

从上限自环满配图 e = 3n - 4 逐次减边，途经基底，直达下界树 e = n - 1。

四条路径双向可逆、完全对称、殊途同归，普通图全局自洽闭环。

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三、第二类：完全图 K_n

完全图 K_n 单独列为第二类，不纳入普通图边数区间。

1. 完全图定义

完全图 K_n 中任意两个顶点都相邻。

其边数为：

e = n(n - 1)/2

2. 完全图色数

完全图 K_n 的每个顶点度数为：

n - 1

因为任意两个顶点两两相邻，所以正常着色需要为每个顶点分配不同颜色，因此：

chi(K_n) = n

这是完全图的基本着色事实。

3. 完全图与普通图区间的关系

· K_5 边数：e = 10
    n = 5 时普通图区间为 [4, 11]
    但 K_5 仍归入第二类完全图类，不归入普通图类。
· K_6 边数：e = 15
    n = 6 时普通图区间为 [5, 14]
    15 超出普通图上限 14，因此 K_6 只能归入第二类完全图类。

由此，K_6 的 15 条边不再与普通图上限 3n - 4 冲突。

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四、公式汇总

普通图基底

a = n - 2

e = 2n - 3

普通图通式

a = 2n - m - 2

e = 3n - m - 3

普通图边数区间

e 属于 [n - 1, 3n - 4]

普通图规范代表图数

P_普通 = 2n - 2

完全图边数

e = n(n - 1)/2

完全图色数

chi(K_n) = n

多孔洞普通图修正通式

若普通图含孔洞，设：

· N 为所有孔洞围边节点数之和；
· v 为孔洞个数，单孔围边 >= 4。

则普通图面数、边数修正为：

a = 2n - m - 2 - (N - 2v)

e = 3n - m - 3 - (N - 3v)

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五、标准实例验证

1. n = 3

普通图边数区间：

e 属于 [2, 5]

普通图规范代表图数：

P_普通 = 4

· e = 2：三节点树；
· e = 3：三角形全外环基底；
· e = 4：m = 2，重边外环；
· e = 5：m = 1，自环外环。

2. n = 4

普通图边数区间：

e 属于 [3, 8]

普通图规范代表图数：

P_普通 = 6

· e = 3：四节点连通树；
· e = 4：单环基础图；
· e = 5：四边形三角剖分基底；
· e = 6：m = 3，多边形外环；
· e = 7：m = 2，重边外环；
· e = 8：m = 1，自环外环。

3. n = 5

普通图边数区间：

e 属于 [4, 11]

普通图规范代表图数：

P_普通 = 8

· e = 4：五节点连通树；
· e = 5：单环基础图；
· e = 6：五边形加一条弦；
· e = 7：五边形三角剖分基底；
· e = 8：m = 4，多边形外环；
· e = 9：m = 3，多边形外环；
· e = 10：m = 2，重边外环普通图；
· e = 11：m = 1，自环外环。

完全图 K_5：

e = 10

chi(K_5) = 5

K_5 归入第二类完全图类。

4. n = 6

普通图边数区间：

e 属于 [5, 14]

完全图 K_6：

e = 15

chi(K_6) = 6

K_6 的 15 边超出普通图上限，归入第二类完全图类，不与普通图区间冲突。

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六、体系边界说明

本体系是广义平面画法体系，不是标准平面图体系。

· 标准平面图不允许边交叉；
· 本体系允许完全图 K_n 中的边交叉；
· 因此，本体系不能否定经典四色定理、欧拉公式或库拉托夫斯基定理。

经典理论的前提是无交叉平面嵌入，而本体系放宽了这一前提。
二者是不同前提下的不同体系。