a,b∈R+ ，2／a+1／b=1 ，求 a+b+√(a^2+b^2) 的最小值

波斯猫猫

《数学期刊》数形结合，巧妙解题

原创  享受数学  2026 年 7 月 19 日 06:30  江苏

luyuanhong发表于 2026-8-24 01:24

原题：a,b∈R+, 2/a+1/b=1，求a+b+√(a^2+b^2)的最小值.

思路：a,b∈R+, 2/a+1/b=1，即b=a/(a-2)，

令a+b+√(a^2+b^2)=t，则t^2+2(a-t)b-2at=0，

(a-2)t^2+2(a-t)a-2a(a-2)t=0，

即2(1-t)a^2+t(t+2)a-2t^2=0.(t=1时，a=2/3)

∴  t^2(t+2)^2+16(1-t)t^2≥0，(t≠0)

解得t≥10，或t≤2(t=2时，a=2舍去).

注：称主贴为颠峰之作，可画图要时间，算r要时间.
本思路不动脑，见子打子，直接算好象也不大繁.

luyuanhong

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