解三角方程 sincosx=cossinx .

波斯猫猫

题：解三角方程 sincosx=cossinx .

思路：令cosx=a，sinx=b，

则，一方面有，-1≤a≤1，-1≤b≤1，即-2≤a±b≤2.

另一方面有，a^2+b^2=1和 sina=cosb.

∴ 原方程是否有解 ，得看上述两个关系式组是否有解来判定.

而sina=cosb=sin(π/2-b)，

∴ a=2kπ+π/2-b，或a=2kπ+π-(π/2-b)，

即a±b=(4k+1)π/2  (k∈Z).

当k=-1，0，1时，有a±b=-3π/2，π/2，5π/2，

∴ 满足条件-2≤a±b≤2的只有a±b=π/2.

显然，a^2+b^2=1的圆心到直线2a±2b-π=0的距离

d=π/√8＞1，故直线与圆相离，即述两个关系式组无解.

∴  原方程无实数解.

luyuanhong

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思路：令cosx=a，sinx=b，

则a^2+b^2=1 ，且sina=cosb=sin(π/2-b).

∴ a=2kπ+π/2-b，或a=2kπ+π-(π/2-b)，

即a±b=(4k+1)π/2(k∈Z). 当k=-1，0，1时，

有a±b=-3π/2，π/2，5π/2，

∴ 原方程只可能在±b=π/2-a时有解.

又a^2+b^2=a^2+(π/2-a)^2=2(a-π/4)^2+π^2/8＞1，

这与a^2+b^2=1 矛盾，故原方程无实数解.

注：还可变轨，在某处恰当的用均值定理。如此广泛联
系，其解法涉及到方程/换元/三角/圆/直线/距离/二次函数/
最值/不等式/均值定理等/众多知识点.

波斯猫猫

思路：原方程可化为sincosx=sin(π/2-sinx)，

即cosx=2kπ+π/2-sinx，或cosx=2kπ+π-(π/2-sinx)，

∴ cosx±sinx=(4k+1)π/2    (k∈Z).

经检测，仅当k=0时方程可能有解，由cosx±sinx=π/2，

有(sinx)^2+(cosx)^2±sin2x=π^2/4，

即∣sin2x∣=∣π^2/4-1∣=(π^2-4)/4＞1，

由此知原方程无实数解.

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思路：原方程可化为sincosx=sin(π/2-sinx)，

即cosx=2kπ+π/2-sinx，或cosx=2kπ+π-(π/2-sinx)，

∴ cosx±sinx=(4k+1)π/2    (k∈Z).

显然，仅当k=0时方程可能有解，由cosx±sinx=π/2，

有cos(x±π/4)=π/(2√2)＞1，由此知原方程无实数解.