N≥12，为何恒有素合对？

cuikun-186

引理：x≥12,函数f(x)=π(x)(1-π(x)/x)是增函数

利用差分法是易证的：（见图）

> 证明：
> 令 \(f(x)=\pi(x)-\dfrac{\pi(x)^2}{x}\)，考察差分 \(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\)。

- 当 \(x+1\) 为合数时，\(\pi(x+1)=\pi(x)=p\)，

\(\Delta f(x)=p^2\left(\tfrac1x-\tfrac1{x+1}\right)=\dfrac{p^2}{x(x+1)}>0.\)

- 当 \(x+1\) 为素数时，\(\pi(x+1)=p+1\)，代入化简可得

\(\Delta f(x)=\dfrac{(x-p)^2}{x(x+1)}\ge0.\)

于是对全部整数 \(x\ge12\)，\(\Delta f(x)\ge0\)，由单调增函数的差分定义，\(f(x)\) 是增函数。

该引理的数论意义：