\(AG \bigcap BC=M,BG \bigcap AC=N,求证：( ABMN)四点共圆 \)

dodonaomikiki

第二问的制图还很难！
有心者，可否帮助重新制图？

dodonaomikiki

第二问的制图，我制作的非常粗糙！甚为抱歉

dodonaomikiki

第一小题

dodonaomikiki

第二小题
看来也是蛮简介
一开始还让人感到很害怕！害怕证明起来很麻烦~~~~~~

dodonaomikiki

知乎机器人，提供啦一种思路，不晓得对不对，或许可以拓宽眼界

dodonaomikiki

最后发现：
是2026年CMO江苏赛区选拔赛第14题
是个好题！
仅供欣赏与阅读！

dodonaomikiki

这是一道很好的题目，
步步严谨
推到扎实
用啦两次梅涅！


\(

第一题第一部分                     \\
令EF中点=K                \\
\Longrightarrow    CK  \perp  EF                   \\
and,   DG  \perp    EF                   \\
\Longrightarrow    DG//CK                    \\


\begin{cases}
AD=AE=x                \\
BD=BF=y                \\
CE=CF=z                \\
\end{cases}

\Longrightarrow   


\begin{cases}
CB=a=y+z                \\
CA=b=x+z                \\
半周长=s=x+y+z                \\
\end{cases}
          \newline    \\
\vspace{1cm} %            \\   




       \\
三条红色的平行虚线 ： AU//CK//BV如图       \newline

\Longrightarrow            \\
\frac{    UG}{   GV}  =       \frac{AD   }{    DB}           =\frac{ x }{    y}          \\
然后      \\
\begin{cases}       \\
\blacktriangle  AEU   \sim     \blacktriangle CEK        \\
\blacktriangle  BFV       \sim             \blacktriangle  CFK             \\
EK=FK               \\
\end{cases}            \\
\Longrightarrow    \frac{ UE }{   FV}          =   \frac{ AE }{    BFy}     =     \frac{ x }{    y}              \\




SET：

\begin{cases}
EF=L                \\
UE=\lambda  x               \\
FV=\lambda  y            \\
\end{cases}
            \\
\Longrightarrow     \frac{ UG }{   UV}     =\frac{ x }{   x+ y}                                   \\

\Longrightarrow      UG =\frac{ x }{   x+ y}   \bullet  UV              \\
=\frac{ x(   L+\lambda  x  +\lambda  y   )  }{   x+ y}        \\
=\lambda  x  +\frac{ xL }{   x+ y}          \\
\Longrightarrow            \\
EU=UG-UE                               \\
=\lambda  x  +\frac{ xL }{   x+ y} -\lambda  x                                        \\
=\frac{ xL }{   x+ y}                                          \\











...\)

dodonaomikiki

\(

第一小题第二部分                      \\


\frac{     GF+FV  }{       UV     }   =\frac{     y   }{       x+y     }                    \\
\Longrightarrow    \frac{    GF+\lambda y   }{      L+\lambda x+     \lambda y    }=\frac{     y   }{       x+y     }                    \\
\Longrightarrow     GF=\frac{    yL+xy \lambda      +y^2               \lambda-            \lambda yx-        \lambda    y^2      }{       x+y     }                    \\
=\frac{     y L  }{       x+y     }                    \\

故而  ，   EG/GF
=\frac{    xL  }{       x+y     }                \bullet      \frac{    x+ y   }{     yL     }                    \\
=\frac{     x  }{      y     }                    \\

...\)

dodonaomikiki

\(

第一小题第三部分


  \frac{       b     }{   x      }       \bullet           \frac{      x      }{    y     }         \bullet            \frac{      FM      }{   MC      }       =1                       \\
\Longrightarrow          \frac{      FM      }{   MC      }       =    \frac{     xy       }{       xb  }   =          \frac{      y      }{   b      }                    \\        
\Longrightarrow          MC =  \frac{      b      \bullet      FM      }{     y    }                   \\

               \Longrightarrow   \frac{       b     }{   x      }       \bullet           \frac{      x      }{    y     }         \bullet            \frac{     z-CM      }{   MC      }       =1                   \\




\Downarrow  bxz-bx*CM=xy  *CM               \\


  \Downarrow     \frac{      bxz      }{   bx+xy      }    =CM               \\


          \Downarrow        \frac{      bz      }{  b+y       }    =CM               \\


         
   \Downarrow       \frac{       bz     }{     S    }      =CM                 \\        

...\)


        

dodonaomikiki

\(

第一小题第四部分


  \frac{      a     }{   y     }       \bullet           \frac{     yL/(x+y)      }{    xL/(x+y)     }         \bullet            \frac{     EN     }{   NC      }       =1                       \\


\Longrightarrow        \frac{      a     }{   y     }       \bullet           \frac{     y      }{    x     }         \bullet            \frac{     EN     }{   NC      }       =1                       \\


        
\Longrightarrow           \frac{    NC       }{    EN    }       =  \frac{    a     }{   x      }                     \\

\Longrightarrow     CN       =  \frac{    a   \bullet    NE   }{   x      }                   \\
  
  =  \frac{    a      \bullet     (z-CN)   }{   x      }                   \\



\Longrightarrow      x      \bullet    CN  =az-a * CN               \\



\Longrightarrow    CN=    \frac{    az     }{  a+ x      }                  \\   
=    \frac{    az     }{S     }                   \\     


     
\Longrightarrow     CB *CM=a    *  \frac{    bz     }{S     }                 \\
=b    *  \frac{    Az     }{S     }                \\
=CA *  CN              \\


   
结论得证


\)