临界指数的数值计算公式

朱明君

临界指数的数值计算公式

1. 等腰三元组闭式公式

对于等腰三元组 (a, a, c)：

n_crit = ln(2) ÷ ln(c÷a)

当 c = a+1 时：

n_crit = ln(2) ÷ ln(1 + 1÷a)

数值计算形式：

n_crit = 0.693147 ÷ [ln(c) - ln(a)]

2. 一般三元组数值方法

方法一：对数变换法

n = ln(cⁿ - aⁿ) ÷ ln(b)

方法二：函数零点法

f(n) = aⁿ + bⁿ - cⁿ

求解 f(n) = 0

方法三：比值法

(a÷c)ⁿ + (b÷c)ⁿ = 1

3. 实用数值计算公式

牛顿法迭代公式

n_{k+1} = n_k - [a^{n_k} + b^{n_k} - c^{n_k}] ÷ [a^{n_k}·ln(a) + b^{n_k}·ln(b) - c^{n_k}·ln(c)]

初始值选择

n_0 = [ln(c÷a) + ln(c÷b)] ÷ [2·ln(c) - ln(a) - ln(b)]

4. 近似公式

n_crit ≈ ln(2) ÷ ln(2c÷(a+b))

5. 计算示例

以 (4, 5, 6) 为例：

迭代法：n_crit ≈ 2.485

近似公式：n_crit ≈ 0.693147 ÷ ln(12÷9) ≈ 0.693147 ÷ 0.287682 ≈ 2.409