教科书真的能够推出 p 和 q 都是偶数吗？

yangls728

教科书真的能够推出 p 和 q 都是偶数吗？
杨六省
yangls728@163.com
如果教科书真能推出 p 和 q 都是偶数，那就意味着 √2 可以表示为两个整数之比，从而说明教科书实际上已经证明了“√2 是有理数”。但这显然是荒谬的。
既然教科书推出的“√2 是有理数”这一结论不能成立，那么根据逆否命题关系可知：教科书根本推不出“p 和 q 都是偶数”这一结论。
问题究竟出在哪里？笔者认为，教科书的错误在于：它认为由“p 的平方”为偶数，就可以推出 p 为偶数。事实上，教科书这一步推理是无效的。理由如下：
若 p 为偶数，设 p = 2 乘以 p(1)，代入“p 的平方 = 2 乘以 q 的平方”（q 为整数），得
“q 的平方 = 2 乘以 p(1) 的平方”。
同理，q 不能为奇数。设 q = 2 乘以 q(1)，代入上式，得
“p(1) 的平方 = 2 乘以 q(1) 的平方”。
上述过程必然无限重复（笔者注：遗憾的是，教科书没有意识到这一至关重要事项的客观存在），恒有
p(i) = 2 乘以 p(i+1)，其中 i = 1, 2, … 。
故
p = 2 的 1 次方乘以 p(1) = 2 的 2 次方乘以 p(2) = … 。
这意味着 p 含有无穷多个因数 2，与整数的质因数个数有限相矛盾。
由上述矛盾可知，在 q 为整数的条件下，推不出 p 为偶数，因而也就不可能再推出 q 也为偶数。
基于证明过程中任一逻辑链的断裂，都表明整个证明是无效的，所以，教科书关于“√2 不是有理数”的证明是无效的。