二元函数可微不用两个偏导数都连续

simpley

二元函数可微的充分条件是两个偏导数都连续，但我在书中的证明中发现，只要一个偏导数连续，另一个偏导数存在也能推出可微。那么是不是说明，一个偏导数连续就可以推出另一个偏导数连续？

风花飘飘

结论：不能推出。“一个偏导数连续 + 另一个偏导数存在 ⇒ 可微”是成立的（可微的弱化充分条件），但由此推不出“另一个偏导数也连续”。

1. 你看到的“弱化条件”是对的

常见定理链：

偏导都连续 ⇒ 可微（常用充分条件）

进一步可做到“不对称条件”：例如 f_y 在某点连续、f_x 在该点存在，也能推出该点可微（证明通常把全增量拆开，用中值定理+连续性控制误差）

所以你书里“只要一个偏导连续，另一个偏导存在也能推出可微”这个方向没问题。

2. 为什么不能反推“另一个偏导也连续”

可微本身只必然推出：函数连续、两个偏导数存在；但推不出偏导数连续。

既然“可微 ⇏ 偏导连续”，那么“（偏导A连续 + 偏导B存在）⇒ 可微”自然也不能反过来保证“偏导B连续”。