已知 a＞0 ，b＞0 ，且 8／a+1／b=1 ，求 √(a^2+b^2) 的最小值

波斯猫猫

《数学期刊》
原创顺德区林国红名师工作室2026年9月17日22:45广东

luyuanhong发表于 2026-9-24 18:30

已知a＞0,b＞0,且 8/a+1/b=1,求√(a^2+b^2)的最小值.

思路：在坐标系中，如图，直线x/a+y/b=1过点P(8,1)，

∴ √(a^2+b^2)/√[(a-8)^2+1]=a/(a-8)，

即y^2=a^2[(a-8)^2+1]/(a-8)^2

=(x+8)^2(x^2+1)/x^2   (令a-8=x)

=(x^2+8/x+8/x)+(8x+8x+64/x^2)+65

≥12+48+65=125,或y=√(a^2+b^2)≥5√5.

(低调的赋予几何意义，自得其乐)

luyuanhong

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风花飘飘

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liangchuxu

用向量方法

波斯猫猫

《数学期刊》中科大强基试题一题四解
原创 一介布衣未敢忘忧国2026年9月15日00:00 安徽
已知a＞0,b＞0,且 8/a+1/b=1,求√(a^2+b^2)的最小值.

luyuanhong发表于 2026-11-4 18:35

思路: 由8/a+1/b=1, 有b=a/c, c=a-8,

∴ a^2+b^2= a^2+a^2/c^2

=(c+8)^2+(c+8)^2/c^2

=(c-2)^2+(4c+16/c)+(8c+8c+64/c^2)+61

≥0+16+48+61=125, 即√(a^2+b^2)≥5√5.

显然, 仅当c=2, 即a=10,b=5时取等.

luyuanhong

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