一个矩阵，怎样把圆拉成椭圆？——奇异值分解

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一个矩阵，怎样把圆拉成椭圆？——奇异值分解

原创 丁玖  返朴  2026 年 9 月 30 日 07:55  北京

不是每个方阵都能对角化，但每个矩阵都有奇异值分解。它的几何意义相当直观：一个二阶可逆矩阵把单位圆变成椭圆，椭圆长、短两条半轴的长度，正是这个矩阵的两个奇异值。求伪逆、解最小二乘，这些看似不同的问题，也能借助同一种分解串联起来。

一个容易引起误会的名字

在线性代数这门基础学科里，“矩阵的奇异值分解”不仅名声响亮，而且用途广泛。然而，与读者熟悉的“特征值”相比，“奇异值”这个名字难免让初识者感到陌生：它究竟“奇异”在哪里？

数学里冠以“奇异”的对象往往是例外，比如奇异矩阵在同阶方阵中无处稠密、测度为零；奇异值却不同，每个矩阵都有自己的奇异值和奇异值分解。这样看来，奇异值并无什么“奇异”之处，反倒具有普遍性。

历史上，这个名字来自 20 世纪初的积分方程文献：1908 年，英国数学家贝特曼（Harry Bateman ，1882-1946）已使用 singular values 一词；1910 年，法国数学家皮卡（Emile Picard ，1856-1941）也在对称核的情形用过法语 valeurs singulières。这些早期用法与今天的含义并不完全相同。早在这个名称出现几十年前，矩阵情形的相应分解就已经被发现了。

名字虽有些古怪，奇异值与特征值却有着密切的关系，甚至可以互称兄弟，原因是它们俩的基因来源之一是我们在线性代数教科书中早已认识的数学家西尔维斯特（James Sylvester ，1814-1897）。更加吸引人们的事实是：一个矩阵的非零奇异值，正是与之相关的一个半正定矩阵的正特征值的算术平方根。矩阵奇异值分解的理论、应用及计算，从最初提出到广泛应用，经历了近百年的发展。

实方阵的奇异值分解（singular value decomposition ，通常缩写为 SVD）最早是在 1873 年由意大利微分几何学家贝尔特拉米（Eugenio Beltrami ，1835-1900）和 1874 年由法国代数学家若尔当（Camille Jordan ，1838-1922）各自独立证明的，二人都是从双线性形式的化简入手的。1889 年，英国数学家西尔维斯特在不知道前人工作的情况下，第三次独立得到了实方阵的奇异值分解，他把奇异值称为矩阵的“规范乘子”。第四位独立发现矩阵奇异值分解的人是法国工程师兼数学家奥托内（Léon César Autonne ，1859-1916），他在 1913 年得到了复方阵的奇异值分解，1915 年又讨论了它与矩阵“极分解”的关系。1936 年，美国物理学家埃卡特（Carl Eckart ，1902-1973）和杨（Gale J. Young ，1912-1990）对行数和列数可以不相等的实矩阵证明了奇异值分解，1939 年又推广到一般的复矩阵。从有限维推广而成的无穷维积分算子的奇异值分解及其谱理论主要由德国数学家施密特（Erhard Schmidt ，1876-1959）和外尔（Hermann Weyl ，1885-1955）分别于 1907 年和 1912 年建立。矩阵的奇异值分解在 20 世纪 60 至 70 年代成为数值线性代数的基石，这主要归功于计算数学家戈卢布（Gene H. Golub ，1932-2007）和卡汉（William Kahan ，1933-）于 1965 年开发的高效算法。

从正交对角化到奇异值分解

【【图片1】】

唯一性：从特征值看奇异值



化整为零：秩 1 展开与四个基本子空间



从单位圆到椭圆：矩阵的几何作用



借助奇异值分解，写出伪逆



最小二乘：从最优解中选出最短的一个



致谢：周舒义编辑的细心审阅和修改，使得本文的论证叙述更严谨，特此感谢。

撰文 | 丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授）

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