√2不是有理数的另一种证明方法

yangls728

√2不是有理数的另一种证明方法
杨六省
yangls728@163.com

笔者的“毕达哥拉斯学派是否证明了√2不是有理数？”一文，刊登在《中学数学研究》（华南师大版）2026年第7期（下半月刊）上。文中给出了√2不是有理数的证明方法如下。

命题：√2不是有理数。
证明：假设√2是有理数，那么存在整数 p、q，使得
√2 = p/q，
即 p^2 = 2q^2。
不失一般性，固定 q 为整数。
下面证明 p 不为整数：
①若 p 为奇数，则 p^2 为奇数，而 2q^2 为偶数，矛盾。
②若 p 为偶数，设 p = 2p_1，代入 p^2 = 2q^2，得 q^2 = 2p_1^2。
同理，q 不为奇数。设 q = 2q_1，代入上式，得 p_1^2 = 2q_1^2。
上述过程无限重复，恒有 p_i = 2p_{i+1}，其中 i = 1, 2, …。
故 p = 2^1 p_1 = 2^2 p_2 = …。
这意味着偶数 p 含有无穷多个因数 2，与整数的质因数个数有限相矛盾。
由①、②可知，p 不为整数。命题得证。 ■

文中声明说，“也可以先固定 p 为整数来证明命题，只是麻烦一些（证明从略）。”下面是文中“从略”的证明。

命题：√2不是有理数。
证明：假设√2是有理数，那么存在整数 p、q，使得
√2 = p/q，
即 p^2 = 2q^2。
不失一般性，固定 p 为整数；下面证明 q 不为整数：
①如果 p 是奇数，q 是整数，则 p^2 是奇数，而 2q^2 是偶数，矛盾。
②如果 p 是偶数，q 是整数。设 p = 2^m p_1（m≥1），代入 p^2 = 2q^2，得 2^{2m}p_1^2 = 2q^2，即 2^{2m-1}p_1^2 = q^2。要使 2^{2m-1}p_1^2 = q^2 成立，q 含因数 2 的个数不得少于 m 个。设 q = 2^m q_1，代入 2^{2m-1}p_1^2 = q^2，得 2^{2m-1}p_1^2 = 2^{2m}q_1^2，即 p_1^2 = 2q_1^2。
上述过程无限重复，于是有：
q = 2^m q_1（m≥1）；q_1 = 2^n q_2（n≥1）；…
故
q = 2^m q_1 = 2^{m+n}q_2 = …（m≥1；n≥1；…）
这意味着 q 含有无穷多个因数 2，矛盾。
由①、②可知，无论 p 为奇数还是偶数，q 为整数都会引发矛盾。这就是说，当 p 为整数时，q 不为整数。命题得证。 ■