方程 x^4-5x^2+k=0 的四个实根为 x1＜x2＜x3＜x4 ，x4-x3=x3-x2=x2-x1 ，求 k

波斯猫猫

《数学期刊》三道代数题
原创  林启鹏  玩尽绝杀  2026 年 10 月 5 日 03:23  福建

luyuanhong发表于 2026-10-8 01:17

原题: 若方程x^4-5x^2+k=0的四个实根为x1＜x2＜x3＜x4,
且x4-x3=x3-x2=x2-x1, 则k=?

思路: 由题意可设x^4-5x^2+k=0的四个实根为
a-3d, a-d, a+d, a+3d (d＞0),
由韦达定理有：4a=0, ∴ 其根为-3d, -d, d, 3d (d＞0).
∴ 3d^2-3d^2-9d^2-d^2-3d^2+3d^2=-5,
即2d^2=1. ∴k=9d^4=9/4.

原题: 若x^2+y^2=1, x/y=√15+√14, 求x^4+y^4的值.

思路:  ∵ x/y=√15+√14, ∴  y/x=√15-√14.
∴ (x^2+y^2)/(xy)=2√15, 即xy=1/(2√15).
故(x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2
=1-2×(1/60)=29/30.

原题: 若正实数a,b满足a+b=1, 则(a+1/a)(b+1/b)≥25/4.

思路: 令a=1/2+t, b=1/2-t, 其中-1/2＜t＜1/2,
∴ (a+1/a)(b+1/b)=(a^2b^2+a^2+b^2+1)/(ab)
=[(1/4-t^2)^2+(1/2+t)^2+(1/2-t)^2+1)]/(1/4-t^2)
=(16t^4+24t^2+25)/(4-16t^2)≥25/4.
当且仅当t=0, 即a=b=1/2时,取等号.

注：前两题的解法的前半部分，不知专家的用意？后
一题是几十年前的一个传统经典.那里专家的解法与ai
的解法一致.

luyuanhong

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