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发表于 2026-10-28 19:36
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朱火华新二维平面图体系（完整版）
一、体系总定义
本体系重新定义广义二维平面图，将退化结构、重边、自环以及必要的规范交叉结构纳入统一框架。
体系分为两大类：
A类：简单广义平面图
无几何边交叉，允许至多一对重边、至多一个自环，允许孤立点、无边、单边、树、退化环等。
A类又分为：
1. A类主档：连通规范主档
边数连续区间为
e\in[n-1,\,3n-4],
其中 n 为总节点数。主档用于四条构造路径、边数区间、面数公式与规范档位计数。
本体系明确：A类主档默认 n\ge 3。
n=1 的单节点、n=2 的单边及双节点退化重边/自环等连通退化构型，归A类附属离散/退化特例，不进入主档连续区间，不参与 P=2n-2 档位计数。
2. A类附属离散档
孤立点、无边、非连通离散结构，以及 n=1,2 的连通退化特例等，不进入主档连续区间，不参与 P=2n-2 的档位计数。
B类：规范交叉图子类
仅包含完全图 K_n 与偶数节点平衡双部交叉图 K(p,q)，其中
p=q=n/2,
允许边交叉，交叉点不计入节点。其他非完全、非平衡双部的含交叉构型不纳入本体系。
B类环模仅取完全图环模；偶数节点平衡双部交叉图不纳入环模。B类不参与A类边数区间与面数公式。
具体构型判定原则： A/B归属按具体规范构型判定，抽象完全图 K_n 不因名称自动归B。n\ge5 的规范全连接构型归B；K_4 若取平面无交叉构型归A，若取四边形双对角线交叉构型归B。
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二、基本定义
· n：总节点数。
· m：外围边界节点数；1\le m\le n 用于外弦内化段。m=0 仅作A类全边数区间标记。
· a：体系有限面数，不含外部无限面；在多孔洞口径中，a 不含孔洞内部面。
· e：有效边数，重边、自环均计入。
· w：去掉最外环 m 个节点后，剩余内部节点在原图中的度数和，含其与外环相连的边。度数反推公式仅用于由外向内两层及以上环加中心区域的标准结构。
· N：所有内部孔洞围边节点数之和。
· v：孔洞个数，单孔围边节点数 \ge4。
· r：A类逆向释放档位，0\le r\le n-2，用于从基底向连通树下界递减。
· b：由外向内第二层环上节点个数，用于度数反推标准结构。
· y：度数反推标准结构中的其余内部节点数，满足
n=m+b+y.
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三、A类核心结论
3.1 边数连续区间
A类主档边数区间：
e\in[n-1,\,3n-4].
其中：
· e=n-1：连通树档；
· e=2n-3：三角剖分基底档；
· e=3n-5：一对重边退化外环档；
· e=3n-4：一个自环退化外环档。
A类主档规范档位总数为
P=(3n-4)-(n-1)+1=2n-2.
这里的 P 是边数档位数，即主档中逐个边数对应的规范档位数量。该计数适用于A类主档 n\ge3。
3.2 基底状态
全部 n 个节点都在外环上，内部完成三角剖分，此时
m=n.
基底面数：
a=n-2.
基底边数：
e=2n-3.
基底是四条构造路径的公共枢纽和唯一中心原点。
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四、A类四条构造路径
4.1 路径一：基底正向添边，外弦内化
从基底 e=2n-3 开始，在外环上选取两个非相邻节点添加外弦，使外环节点内化，逐步推进至边数上限 e=3n-4。
操作规则：
· 在外环上选取两个非相邻节点，添加一条外弦；
· 使外环上的一个节点变成内部节点；
· 总节点数 n 不变；
· 外围节点数 m 减1；
· 内部节点数加1；
· 面数 a 加1；
· 边数 e 加1。
终态补丁： 当 m=2\to m=1 时，外环只有两个节点，不能再按“非相邻两节点添外弦”执行。该终态由“重边外环叠加一个自环”完成：边数加1，面数加1，m 记为1。于是 m=2 档为一对重边外环，m=1 档为在该退化外环上再计一个自环，重边仍按一对计。
路径一通式，1\le m\le n：
a=2n-m-2,
e=3n-m-3.
当 m=n 时回到基底：
a=n-2,\qquad e=2n-3.
当 m=2 时为重边外环：
a=2n-4,\qquad e=3n-5.
当 m=1 时为自环外环：
a=2n-3,\qquad e=3n-4.
4.2 路径二：基底逆向减边，内弦外化
从基底 e=2n-3 开始，逐步减边，向连通树下界 e=n-1 回退。
为避免外围节点数 m 超过 n，路径二在基底至树段采用逆向释放档位 r：
0\le r\le n-2.
每释放一档：
· 总节点数 n 不变；
· 边数减1；
· 面数减1；
· r 加1。
路径二逆向释放通式：
a=n-2-r,
e=2n-3-r,
其中
0\le r\le n-2.
当 r=0 时回到基底：
a=n-2,\qquad e=2n-3.
当 r=n-2 时到达连通树下界：
a=0,\qquad e=n-1.
路径二与路径一在基底处共享同一中心；路径一走向上限，路径二走向下界，方向相反，参数分段。
4.3 路径三：全域正向完整构造
从边数下界 e=n-1 的连通树出发，逐次添边，途经基底 e=2n-3，最终抵达边数上限 e=3n-4 的自环外环，完整覆盖整个边数连续区间。
正向序列：
e=n-1\to n\to n+1\to\cdots\to2n-3\to\cdots\to3n-5\to3n-4.
分段描述：
· 从 n-1 到 2n-3：逆向释放档 r 由 n-2 递减到0；
· 从 2n-3 到 3n-4：外弦内化参数 m 由 n 递减到1。
每一步边数增加1，对应一个规范档位，无分叉、无跳跃、无空缺。
4.4 路径四：全域逆向完整构造
从边数上限 e=3n-4 的自环外环出发，逐次减边，途经基底 e=2n-3，最终回到边数下界 e=n-1 的连通树。
逆向序列：
e=3n-4\to3n-5\to\cdots\to2n-3\to\cdots\to n+1\to n\to n-1.
分段描述：
· 从 3n-4 到 2n-3：外弦内化参数 m 由1递增到 n；
· 从 2n-3 到 n-1：逆向释放档 r 由0递增到 n-2。
路径四与路径三完全对称，共享同一基底中心。
4.5 核心操作对照
操作 性质 参数 节点变化 总节点数 n 边数 面数 方向
外弦内化 添边 m 减1 外环节点变内部节点 不变 e 加1 a 加1 基底到上限
内弦外化 减边 r 加1 围内剖分边外释 不变 e 减1 a 减1 基底到下界
终态 m=2\to m=1 按4.1补丁由“重边外环叠加自环”完成，不计作普通外弦内化。
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五、A类多孔洞修正
设 N 为所有孔洞围边节点总数，v 为孔洞个数，单孔围边节点数 \ge4。
多孔洞面数：
a=2n-m-2-(N-2v).
多孔洞边数：
e=3n-m-3-(N-3v).
该公式仅适用于A类简单广义平面图。
口径说明：这里的 a 为体系有限面数，不含外部无限面，也不含孔洞内部面。若需计入孔洞内部面，另设
a_{\text{total}}=a+v.
由上述两式可得本体系内部关系：
a=e-n+1-v.
因此多孔洞公式中的 a 必须按“不含孔洞内部面”的口径理解。
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六、A类度数反推公式
适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图，即
n=m+b+y,
其中 b 为由外向内第二层环上节点个数。
本体系明确：w 为去掉最外环 m 个节点后，剩余内部节点在原图中的度数和，含其与外环相连的边；不含最外环 m 个节点的度数。基底等无两层内部结构的情形不套用本组反推公式。
由围内节点度数和 w 反推面数与边数：
a=\frac{w+2m+b}{3},
e=\frac{w+3m+b}{2}.
围内节点度数和互推公式：
w=3a-2m-b,
w=2e-3m-b.
总图总度数恒等式，用于外弦内化段：
W=2(3n-m-3).
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七、B类规范交叉图子类
7.1 B类环模约定
B类环模仅取完全图环模。全部 n 个节点置于同一外环上按规范环序排列，所有节点两两之间按完全图连接方式绘制，交叉点不计入节点。
B类环模只规定完全图 K_n 规范交叉构型的外围顺序与交叉叠加口径，不参与A类边数、面数公式，也不改变B类边数公式。
偶数节点平衡双部交叉图不纳入环模，仅按B类边数公式与着色规则定义。
7.2 包含图种
1. 完全图 K_n
取完全图环模。n\ge5 时其规范环模嵌入出现交叉，归B类规范交叉档。
K_4 按具体构型判定：平面无交叉构型归A类主档；四边形双对角线交叉构型归B类规范交叉档。
2. 偶数节点平衡双部交叉图 K(p,q)
其中
p=q=n/2,
不纳入环模，仅作为B类边数与着色对象，K(3,3) 为典型代表。
7.3 边数公式
完全图 K_n 边数按体系展开构造式定义：
e=n+(n-3)+\frac{(n-3)(n-2)}2.
该式可整理为
e=\frac{n(n-1)}2.
偶数节点平衡双部交叉图取 p=q=n/2，边数按体系平衡双部公式定义：
e=\left(\frac n2\right)^2.
7.4 完全图边数展开构造步骤
完全图 K_n 的边数可以通过分阶段添边构造得到：
e=n+(n-3)+\frac{(n-3)(n-2)}2.
以 n=7 为例：
· 原始骨架边数为7条；
· 第一次从A节点开始添边，共4条；
· 第二次从B节点开始添边，共4条；
· 第三次从C节点开始添边，共3条；
· 第四次从E节点开始添边，共2条；
· 第五次从D节点开始添边，共1条。
总边数：
7+4+4+3+2+1=21.
其中 7+4 对应
n+(n-3),
即“原始骨架7条 + 第一次A添4条”；剩余“第二次至第五次”的
4+3+2+1=10
对应
\frac{(n-3)(n-2)}2.
7.5 B类面数口径
B类图由于存在边交叉，交叉点不计入节点，面的定义与计数不能沿用A类公式。本体系暂不定义B类通常面数，仅定义边数与结构归属；完全图另设叠加面口径计数：
a_{F,B}=C(n,3)=\frac{n(n-1)(n-2)}6.
该口径为点边共享、交叉边叠加的体系内叠加面口径。
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八、着色规则
8.1 A类着色
A类简单广义平面图：着色数4色。
本体系内规定：
· 自环不产生“不同节点异色”约束；
· 重边只按一条不同节点相邻关系计；
· A类着色只对由不同节点之间的边形成的相邻关系生效。
因此A类主档与附属档统一记为：
\text{A类着色数}\le4.
8.2 B类着色
完全图 K_n：最小着色数为 n。
偶数节点平衡双部交叉图 K(p,q)，p=q=n/2：最小着色数为2。
8.3 n色定理
完全图 K_n 中，每个节点的度数为 n-1，因此每个节点都与其余 n-1 个节点相邻。正常着色要求相邻节点颜色不同，所以每个节点都不能与其余任何节点同色。
因此完全图 K_n 的最小着色数为 n，即
\chi(K_n)=n.
本体系称之为n色定理。
补充：
· 当 n\le4 时，完全图 K_n 的着色数 \le4，属于4色可着色档位；
· 当 n\ge5 时，完全图 K_n 的着色数 n>4，归入B类规范交叉档。
具体：
· n=1：单节点完全图，着色数1；
· n=2：单边完全图，着色数2；
· n=3：三角形完全图，着色数3；
· n=4：K_4，着色数4；其平面无交叉构型归A，其双对角线交叉构型归B；
· n\ge5：K_n 归入B类规范交叉档，着色数 n。
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九、实例验证
实例一：n=3
A类边数区间：
[2,5].
主档档位数：
P=2n-2=4.
路径三正向链：
e=2\text{（树）}\to e=3\text{（三角形基底）}\to e=4\text{（重边外环）}\to e=5\text{（自环外环）}.
路径四逆向链：
e=5\to4\to3\to2.
实例二：n=4
A类边数区间：
[3,8].
主档档位数：
P=2n-2=6.
路径三正向链：
e=3\text{（树）}\to e=4\text{（单环）}\to e=5\text{（三角剖分基底）}\to e=6\text{（}m=3\text{普通外环）}\to e=7\text{（}m=2\text{重边外环）}\to e=8\text{（}m=1\text{自环外环）}.
路径四逆向链：
e=8\to7\to6\to5\to4\to3.
实例三：n=5
A类边数区间：
[4,11].
主档档位数：
P=2n-2=8.
路径三正向链：
e=4\text{（树）}\to e=5\text{（单环）}\to e=6\text{（五边形加一条弦）}\to e=7\text{（五边形三角剖分基底）}\to e=8\text{（}m=4\text{普通外环）}\to e=9\text{（}m=3\text{普通外环）}\to e=10\text{（}m=2\text{重边外环）}\to e=11\text{（}m=1\text{自环外环）}.
路径四逆向链：
e=11\to10\to9\to8\to7\to6\to5\to4.
注意：A类区间包含边数10和11，但这两个边数对应的A类规范代表图是重边外环和自环外环，并非 K_5。K_5 单独属于B类，边数为10，不占用A类区间位置。
K_5：n=5，e=10，属于B类，最小着色数5。
K(3,3)：n=6，按体系平衡双部公式：
e=\left(\frac62\right)^2=9,
属于B类，最小着色数2。
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十、体系边界
本体系明确划分A、B两类：
A类：简单广义平面图。 无交叉，允许退化结构，沿用连续边数区间与面数公式。A类主档为连通规范主档；孤立点、无边、非连通离散结构及 n=1,2 连通退化特例归A类附属离散/退化档，不进入主档区间与 P=2n-2 档位计数。
B类：规范交叉图子类。 仅含完全图与偶数节点平衡双部交叉图，不参与A类公式。
B类环模仅取完全图环模，用于完全图 K_n 的规范交叉构型；偶数节点平衡双部图不纳入环模。B类环模不参与A类公式。
边界补丁： A类主档默认 n\ge3，且终态 m=1 档由“重边外环叠加自环”定义；n=1,2 归附属离散/退化特例。A/B归属按具体规范构型判定，抽象完全图 K_n 不因名称自动归B，唯 n\ge5 的规范全连接构型及显式交叉环模构型归B；K_4 双对角线交叉构型归B，平面无交叉构型归A。
两类边界清晰，各自自洽，不再混用公式。
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十一、公式总汇
11.1 A类公式
基底面数：
a=n-2.
基底边数：
e=2n-3.
外弦内化面数，1\le m\le n：
a=2n-m-2.
外弦内化边数，1\le m\le n：
e=3n-m-3.
逆向释放面数，0\le r\le n-2：
a=n-2-r.
逆向释放边数，0\le r\le n-2：
e=2n-3-r.
度数反推面数：
a=\frac{w+2m+b}{3}.
度数反推边数：
e=\frac{w+3m+b}{2}.
围内度数和面式：
w=3a-2m-b.
围内度数和边式：
w=2e-3m-b.
总度数恒等式，用于外弦内化段：
W=2(3n-m-3).
多孔洞面数：
a=2n-m-2-(N-2v).
多孔洞边数：
e=3n-m-3-(N-3v).
多孔洞口径：
a=e-n+1-v.
A类主档边数区间：
e\in[n-1,\,3n-4].
A类主档规范档位数：
P=2n-2.
A类着色数：
\text{A类着色数}\le4.
11.2 B类公式
B类环模：仅取完全图环模；平衡双部图不纳入环模。
完全图边数展开构造式：
e=n+(n-3)+\frac{(n-3)(n-2)}2=\frac{n(n-1)}2.
偶数节点平衡双部交叉图：
e=\left(\frac n2\right)^2.
完全图叠加面口径：
a_{F,B}=C(n,3)=\frac{n(n-1)(n-2)}6.
完全图着色数：
\chi(K_n)=n.
平衡双部交叉图着色数：
\chi(K(p,q))=2,\qquad p=q=n/2.
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附录：具体构型判定
本体系按具体构型判定：
· n=4，m=3，e=6：无交叉，归A类主档；
· n=4，m=4，e=6：四边形双对角线有交叉，归B类规范交叉档；
· n=4，m=4，e=5：四边形加一条对角线无交叉，归A类主档，但不是全连接构型。
· K_4 平面无交叉全连接构型：归A类主档，着色数4；
· K_4 四边形双对角线交叉构型：归B类规范交叉档，着色数4；
· n\ge5 的全连接具体构型全部有交叉，归B类规范交叉档。
平面图类不挂 K 标签，K 只作来源备注。
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以上为体系内部完整版。核心内部闭合点为：A类主档采用“外弦内化 m 段 + 逆向释放 r 段”双参数分段；A类主档档位数 P=2n-2 为边数档位数；多孔洞 a 采用不含孔洞内部面口径；A类着色中自环不产生异色约束；B类完全图与平衡双部图分别按自身边数与着色规则独立定义；A/B归属按具体规范构型判定。 |
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发表于 2026-10-28 19:24
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