已知 x 和 y 均为正实数，且 x + y = 2 ，证明：1／x^2 + 2／y + 2 ≥ 5

波斯猫猫

《数学期刊》硬核破解高一不等式难题, 体验极致爽感！
原创数之缘高中数学学习方法研究2026年10月18日23:01江苏

luyuanhong发表于 2026-10-30 00:50

题: 已知x和y均为正实数, 且x+y=2, 证明: 1/x^2+2/y+2≥5.

思路1:  ∵ x, y∈R+, 且x+y=2,

∴ 1/x^2+2/y=(x+y)^2/(4x^2)+(x+y)/y

=(x^2+2xy+y^2)/(4x^2)+(x+y)/y

≥4xy/(4x^2)+(x+y)/y=y/x+x/y+1

≥3, 即1/x^2+2/y+2≥5(仅当x=y=1时取等).

思路2: 由x, y∈R+, 且x+y=2, 显然有 xy≤1,

仅当x=y=1时取等.

∴ 1/x^2+2/y=1/x^2+1/y+1/y

≥3/(xy)^(2/3)≥3, 即1/x^2+2/y+2≥5.

注：哪有硬核处？哪来极致爽感？不装腔作势
时结论为1/x^2+2/y≥3.

波斯猫猫

现在有的专家真如魏书生先生所说：（先）把
明白的事说糊涂，再重说（说明白）.

时空伴随者

没有显然，无需任何前提不等式。
\(令 x=1+t, y=1-t, (-1\lt t\lt1)\\ \)
\(则\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y}\\=\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{2}{1-t}\\=\frac{1-t+2(1+t)^2}{(1+t)^2(1-t)}\\ \)
\(=\frac{3+3t+t^2}{(1-t^2)(1+t)}\\=\frac{3}{1-t^2}+\frac{t^2}{(1-t^2)(1+t)}\\ \ge 3, 当t=0时等号成立\)

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的帖子和 时空伴随者 的解答都很好！已收藏。