关于“四色定理”和“旅行商邮路问题”的简要证明

John

关于“四色定理”和“旅行商邮路问题”的简要证明
蔡沐春
西南交通大学峨眉校区
摘要：“四色定理”又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。四色定理其实质上就是“旅行商邮路问题”的升级版，本人运用“四色定理”对“旅行商邮路问题”的解决方法作出了一些简要的证明，暂时没有相出运用“旅行商邮路问题”对“四色定理”的证明
关键词：四色定理 旅行商问题
摘要
“四色定理”100多年来一直是困扰世界数学家的一个难题，无数的数学家前赴后继，然后目前依然只存在简单粗暴的计算机证明，100多年来无数的数学家运用各种数学方法进行证明，却始终只停滞不前
“四色定理”证明：
定理1：平面上任何两个面两两相邻都会产生一条相邻的边和两个交点
定理2：最简单的平面由三条直线构成，即：最简单的平面是三角形
定理3：由定理2可知，平面上的任何一个面都可以看作是三条或三条以上的相邻的边闭合所形成
定理4：由定理3可知，足够大的平面上的任何一个面，可以看作是平面上的任意的无数个点依次连接形成的闭合回路（面），任意两点之间的连接形成的直线都是一条相邻边
运用归纳法证明：
首先，我们设“四色定理”的命题正确，即：平面上最多有4个平面两两相邻。
根据“四色定理”可以得知，平面上最多只能形成4个两两相邻的面，即：平面上最多只能有3个平面是可以同时与例外一个平面相邻，形成4个两两相邻的面时，必有一个平面是被其他3个平面所包围。由定理1可知，我们把不同的面运用不同的颜色区分两两相邻的面，任何一个平面最多有3条不颜色同的相邻边，我们用3条不同的相邻边即代表不同的面的相邻颜色。由定理4可知，取一个无限大的平面，在平面上取无数个点，任意连接这些点，形成无数条相邻的边，然后用3种颜色（红、蓝、白）标记这些直线，如图1所示：
因为平面可能是无数个点的的集合，所以我们在平面上取点任意多个点，运用三种颜色标记时，通过不同颜色交替行走，可以通过其中的任意一个点作为始点，然后走完全部的点最后回到始点，即：任意一个封闭的平面想要通过任意想要通过的点只需要三种颜色就足够了。这是其中一种走行路线，如图2所示：

通过上述证明可以得知，四色定理正确
“旅行商邮路问题”的解决方法
根据上述证明可知，将旅行商需要到达的城市看作是一个点，与城市相连接的道路看作线，排除一个城市只有一条道路的现象，只有两条道路时，可以看作是一根直线上两点间的任何点，要通过这些所有的点，只需要把所有的点的周围的线用三种颜色标记，任意取一个始点，然后3种颜色交替行走，最后都能通过所有的点回到始点。
参考文献：
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