圆周启示录：祖冲之圆周率算法绝技之谜

luyuanhong

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学者陈绥阳 发表于2009-11-27 16:00:26
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圆周启示录：祖冲之圆周率算法绝技之谜  

    据说华罗庚曾讲过一个故事，说：有个教书先生喜欢喝酒，一天，他叫学生背圆周率，自己却提壶酒到山上庙
里找老和尚喝酒去了。有个聪明的学生把圆周率编了个打油诗“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃；酒杀
尔，杀不死，乐尔乐”。其实是3.1415926535897932384626的谐音。先生一回来，学生居然背了下来，可一想，
发现学生是在讽刺他。
    究其“山巅一寺一壶酒”的来历，众所周之，可上溯至南北朝时的祖冲之(429—500年)，当时获得的结果是圆
周率在3.1415926与3.1415927之间。
    那么，祖冲之是怎么算出来的呢？
   《隋书·律历志》记载，祖冲之所用的方法叫“缀术”，并说祖冲之“所著之书名为《缀术》，学官莫能究其
深奥”。传说唐时此书为朝庭钦定教科书，后来《缀术》失传。从而祖冲之的神奇算法成为千古之谜。
    作为猜测，华先生曾说“他的算法也是极限的最好说明，他从单位圆的内接正六边形和外切正六边形出发……
再作内接的和外切的正12边形、正24边形……边数愈多, 内接的和外切的正6·2^(n-1)边形的面积就愈接近圆的
面积,由此可以逐步地精确地算出圆周的长度。”内接和外切正多边形的方法是阿基米德的“穷竭法”。
    但仔细一想，用“穷竭法”来算也是有问题的。要得到祖率的精度，需要算正24576边形，也就是从正六边形出
发要剖分12次，即同一算法要迭代12次，在用算筹的手工年代要完成如此浩大的计算量其困难是很大的，也可
能是很能难实现的。
    于是，钱宝琮先生在主编《中国数学史》时猜测采用了与刘徽割圆术相仿的方法，钱先生猜测说：“祖冲之钻
研了《九章算术》刘徽注之后，认为数学还应该有所发展，他写成了数十篇专题论文，附缀于刘徽注的后面，
叫它‘缀述’。”
    “缀”有附着之意，故华中王能超先生同意钱先生的观点，认为“缀术”实际上是《九章算术》刘徽注的“祖
冲之注”。但“缀术”决不是“缀述”。
    然而，“缀”又有拼合、组合之意，故“缀术”可能是刘徽割圆术的组合之术。
    王先生坚信“缀术”是割圆术的组合之术，并由此发现了“缀术”是与当今外推算法相类似的一种加速算法，
祖冲之肯定是用这种加速算法减少了迭代次数，解决了计算量大的困难。这种加速算法的智慧是阿基米德穷竭
法所不能比的。果真如此的话，王先生就破译了缀术的千古疑案，所以林群先生讲“我认为王教授的发现是数
学史上的重大事件”。
    那么，该如何“组合”呢？
    从圆内接正六边形做起，第一次割得正12边形，用S(12)记其面积，刘徽称其为“觚之幂”，于是得：
    S(12)，S(24)， S(48)， S(96)，S(192)，……
刘徽称多边形的面积为幂，而称偏差
    A(n)=S(2n)－S(n)
为差幂，并给出了双侧逼近公式，即圆面积介于S(2n)与S(2n)＋A(n)之间，由此给出了一个计算圆面积的近似
实例：
    S(192)＋36/105[S(192)－S(96)]
由此得到圆周率为3.1416，将此实例写成公式就是：
    圆面积≈S(2n)＋c[S(2n)－S(n)]
即是现代的组合加速技术，其关键是系数c的选取。为此，刘徽在割圆术中说了一句人称“十字文”的话：“以
十二觚之幂为率消息”，一千多年来让多少行家费尽思量也不解其迷。王先生从刘徽的思想方式与语言行文特
征出发，认为是人们传抄之误，实应为“以十二觚之幂率为消息”，意为系数c的消息在十二觚之幂率中。十二
觚之幂率为
    D(12)＝A(12)/A(24)＝[S(24)－S(12)]/[S(48)－S(24)]＝3.95
可得系数c＝1/(3.95－1)＝1/2.95，这是刘徽的伟大之处，也是刘徽与3.1415926失之交臂而把更精致的结果留
给了200年后的老祖的原因。如果把
    D(12)、D(24)、D(48)、D(96)
都算出来，就会发现它们稳定在4.0上，从而系数c＝1/3。如果取c＝1/3，只需算到正96边形的S(96)和正192边
形的S(192)，再利用加速公式就可以得到3.141592646，这时只需要迭代5次而不是12次，也不需要算到正24576
边形，大概这就是老祖的绝技之谜。
    公元前300年，阿基米德为得到3.14，已经割到正96边形了，如果他老先生知道如何跑得快一点就能喝到一壶酒
了，没有离“山巅一寺一壶酒”的一步之遥了。
    这一绝技在现代已不重要了，在大学本科的计算方法中只是很简单的外推加速技术。所以，著名的克莱因在
《古今数学思想》自叙称：“为着不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的文化，因为他们的工作对
于数学思想的主流没有重大的影响。”
    如果再问一个问题：老刘和老祖在那个时代是怎么想到加速与c＝1/3的？
    一个比较靠得住的猜想是，他们是从数字的分析中直觉地感悟到的，在逻辑上不是从分析逻辑上得到的，而是
从直觉逻辑上得到的。有人把这类直觉、感悟叫做智慧。擅长数学主流分析逻辑的西方数学家伊恩·斯图尔特
说：“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起。受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅
力所在，也是数学教育者努力的方向。”他更是一语道破了数学的真谛：“直觉是真正的数学家赖以生存的东
西”。
    无独有偶，迪瓦多内也说：“这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活生生
的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓‘直觉’”。
    也许对数学主流思想产生重大影响的恰好是人类的直觉思维，这才是今天人们仍然尊敬刘徽与祖冲之的原因。
如何让数学家经常带点直觉的灵感呢，德国数学家维尔斯特拉斯说：“不带点诗人味的数学家，绝不是一个完
美的数学家。”
    所以，一个完美而又简单的修练方法就是到学人亭来。

    2004年，获王能超先生慧赠《千古绝技“割圆术”——刘徽的大智慧》，谨以此文答谢。