n阶乘的裂解和表达式

ccmmjj

从博士数学论坛看到一个很久以前的求助，原题不知来自哪里。我研究了两天，小有所得。特将此题简化如下，挂网一周，考验一下网友，并咨询此问题的出处。

Future_maths

好帖，很好的问题，谁能给出证明？

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

awei

错排列问题也称伯努利-欧拉的装错信封的问题，错排公式的原形为D(n) = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n!。楼主的题是不是可重复装错信封问题，学习了！

ccmmjj

awei 发表于 2018-6-1 03:53
错排列问题也称伯努利-欧拉的装错信封的问题，错排公式的原形为D(n) = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - .. ...

关于装错信封的问题，本论坛帖子“http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=&page=1”有详尽讨论，我把几个重要图片转贴于此，你可以看看。
先是《概率素数论》的作者熊一兵提出这个问题；
陆元鸿的教科书解答：

我给出的递推和通项公式：

赵录对我的公式进行的证明：

elimqiu（即elim）对以上讨论的总结发言：

这就是多年前在本坛对此经典问题的分析讨论。详细情况你可以看看原贴。这个问题和本楼主贴问题似不相关。

王守恩

基础资料，我先整理出来。

ccmmjj

先给出主帖的证明，关于这个公式的进阶版，即陆老师帖子的结论，过两天再说，打数学太辛苦了。

王守恩

ccmmjj 发表于 2018-6-1 13:24
关于装错信封的问题，本论坛帖子“http://www.mathchina.com/bbs/for ... mp;tid=18798&ex ...

关于装错信封的问题，2010年曾在本坛对此经典问题进行分析讨论，
真是个好帖！ccmmjj的公式非常简洁而优美(一步到位)！
本人斗胆尝试化简：a(n)=[n！e^(-1)]，中括号[x]表示x取圆整，即四舍五入。
理由很简单：n！e^(-1) ， (n+1)！e^(-1) ， n！e^(-1) + (n+1)！e^(-1) ，
随着 n 的增大，这 3 个数都慢慢在向整数(答案)靠拢，越靠越拢！
下面的公式不太通(还不能一步到位)，好处是答案是整数，大家不妨参考。
   a(0) = 1,   a(n) = 1 - n × a(n-1).               
1, 0, 1,  - 2, 9,  - 44,  265,  - 1854,  14833,  - 133496,  1334961,  - 14684570,
176214841, - 2290792932, 32071101049, - 481066515734, 7697064251745,
  -130850092279664,  2355301661033953, - 44750731559645106,
895014631192902121, -18795307255050944540, 413496759611120779881,

luyuanhong

第 8 楼中 ccmmjj 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

王守恩 发表于 2018-6-1 19:06
关于装错信封的问题，2010年曾在本坛对此经典问题进行分析讨论，
真是个好帖！ccmmjj的公式非常简洁而 ...

关于装错信封的问题，2010年曾在本坛对此经典问题进行分析讨论，
真是个好帖！ccmmjj的公式非常简洁而优美(一步到位)！
本人斗胆尝试化简：a(n)=[n！e^(-1)]，中括号[x]表示x取圆整，即四舍五入。
理由很简单：n！e^(-1) ， (n+1)！e^(-1) ， n！e^(-1) + (n+1)！e^(-1) ，
随着 n 的增大，这 3 个数都慢慢在向整数(答案)靠拢，越靠越拢！
下面的公式不太通(还不能一步到位)，好处是答案是整数，大家不妨参考。
   a(0) = 1,   a(n) = 1 - n × a(n-1).               
1, 0, 1,  - 2, 9,  - 44,  265,  - 1854,  14833,  - 133496,  1334961,  - 14684570,
176214841, - 2290792932, 32071101049, - 481066515734, 7697064251745,
  -130850092279664,  2355301661033953, - 44750731559645106,
895014631192902121, -18795307255050944540, 413496759611120779881,