哈代积分与孪生素数的量化关系

小草

[这个贴子最后由小草在 2010/01/01 09:52am 第 1 次编辑]

                哈代积分与孪生素数的量化关系
    命T(x)是不大于x的孪生素数对数，2C2∫2,x  dt/(lnt)^2是哈代积分,其中C2=Πp>2  1-  1/(p-1)^2≈0.66016118158468695739278121100145...
    关于C2有一个非常不严格的推理：由素数定理可知π(x)/x～1/lnx,所以正整数n为素数的概率是1/lnx.而n+2为素数的概率也是一样的.所以若这两个事件是独立的，则n和n+2同时为素数的概率为1/(lnx)^2.因为若n>2为素数，则n为奇数，所以n+2也是奇数.考虑到n+2在奇数子集合中，它为素数的概率应当加上一个矫正因子2.而在计算概率时还要考虑加上因子
                    (p-2/p-1)/(p-1/p)=p(p-2)/(p-1)^2=1-  1/(p-1)^2
从而根据这种经验考虑，T(x)/x应为C2/(lnx)^2
    而在实际上令C为T(x)/∫2,x  dt/(lnt)^2,所以2C2和C它们虽然非常接近但且是两个不同的值.
    但话又说回来，因为判断C是不是常数这不是一件容易的事，而且我们目前还得不到比它更好的常数，其实我们能够得到象C2这样的常数已经是一件非常了不起的事情.
    命T(x)=∫3,x  dt/(lnt)^λ,2C2∫2,x  dt/(lnt)^2=∫3,x  dt/(lnt)^λ';,我们发现当x→∞时λ';与λ非常相近.将λ表λ(x),λ';表λ';(x),我们有
                  λ(10)=2.367                     λ';(10)=0.65292
                λ(10^2)=2.1092                  λ';(10^2)=1.624804
                λ(10^3)=1.9709                  λ';(10^3)=1.80433
                λ(10^4)=1.87998                 λ';(10^4)=1.8587414
                λ(10^5)=1.88877                 λ';(10^5)=1.87912764
                λ(10^6)=1.89376                 λ';(10^6)=1.889956
                λ(10^7)=1.89568                 λ';(10^7)=1.8971026
                λ(10^8)=1.902441                λ';(10^8)=1.9023973
                λ(10^9)=1.9066396               λ';(10^9)=1.9065609
                λ(10^10)=1.90994258             λ';(10^10)=1.9097575
                λ(10^11)=1.912791452            λ';(10^11)=1.912801499
                λ(10^12)=1.9152265168           λ';(10^12)=1.91523065136
                λ(10^13)=1.91733734493          λ';(10^13)=1.9173385954
                λ(10^14)=1.919191516743         λ';(10^14)=1.919191638264
                λ(10^15)=1.9208380976591        λ';(10^15)=1.9208382791956
    从上面的数据我们可以看出它们的拟合程度是相当惊人的.
    我们的网友可能会说，这个问题已经有哈代积分与孪生素数的对数的相当惊人的拟合就足够了，上面的数据是多余的.不过T(x)和哈代积分都趋向无穷，而λ和λ';且是两个不大于2的常数，我们从开区域进入到闭区域，这至少也是一种进步.
    根据哈代积分limx→∞  λ(x) = 2,因为limx→∞  λ';(x) = 2,说的确切一些就是2-ε.         
    因为2C2x/(lnx)^2=x/((inx)^2)/2C2=x/(lnx)^(2-(ln2C2/lnlnx)),转换到哈代积分相等于∫2,x  dt/(lnt)^（2-(hln2C2/lnlnx)=∫2,x  dt/(lnt)^2-ε.当
                               x=(10^300)时ln2C2/lnln10^300=0.0425028736220466,我们不计算系数h,则 λ(10^300)～1.95749712637795.
    我们现在对C和2C2作一个比较；
                          C(10)=0.546015452
                          C(10^2)=0.78035838
                          C(10^3)=1.009078826
                          C(10^4)=1.263550033
                          C(10^5)=1.294197807
                          C(10^6)=1.307672746
                          C(10^7)=1.325406453
                          C(10^8)=1.320156347
                          C(10^9)=1.320014432
                          C(10^10)=1.320383868
                          C(10^11)=1.320365903
                          C(10^12)=1.320341527
                          C(10^13)=1.320329182
                          C(10^14)=1.320324184
                          C(10^15)=1.320324473
                          C(10^16)=1.320324034
                          C(10^17)=1.320324446
                          C(10^18)=1.3203236
    我们能算出C(x)的函数吗？不能，我们也没有比拉曼纽扬系数更接近C(x)的系数.

                  作者施承忠              2009.12.31

白新岭

楼主的这种分析并不通用，最近我在研究四胞胎素数群均值的合成时，有与上面不相符的结论---指四胞胎素数群出现的组数，不符合概率分布，在（Pi,Pi+2,Pi+6,Pi+8)这个四胞胎素数群中，按楼主的分析，应该是4个位置都是素数，按素数定理知，每个位置出现的素数的概率为：1/LN(n),如果素数的出现符合概率分布，则任何位置出现素数的概率都是：1/LN(n),那么4个连续位置都是素数的话，则出现四胞胎素数的概率应为：常数/[LN(n)]^4，而实际上，这样的四胞胎素数出现的组数，与下面的公式接近：（孪生素数常数）^3*n/[LN(n)]^3,只是在1千万内误差大些，在以后此公式的差值与区间段出现的组数非常接近。

白新岭

声明，我先向楼主道歉，楼主的分析是对的，应该是概率分布，三个连续的素数数量应该是：调节系数*n/[LN(n)]^3,四个连续素数组出现的数量：调节系数*n/[LN(n)]^4，......。