级数展开的筛法解释

小草

   级数展开的筛法解释
      引理
      如果在a个数中筛去p≤a^0.5的素因子后的剩余数是b,那么在na个数中筛去p≤a^0.5的素因子后的剩余数大约是nb
      证：
      由欧拉φ(p1p2)=(p1-1p2)-p1-1=p1-1p2-1，由于p1⊥a所以只能是近似，得此结论.
      证毕.   
            分配筛法
      首先我们对筛法要有一个再起码的估计，表不大于N的素数个数为π(N)，不大于N的非素数个数为g(N),我们的估计是
          π(N)≈N/lnN
           g(N)≈N(lnN)-1/lnN
      将自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10进行分配，数值用四舍五入计算
      首先计算10/ln10=4
          10*((ln10)-1)/ln10=6
          π(10)=4={2,3,5,7}
           g(10)=6={1,4,6,8,9,10}
      将自然数1,2,3,...,100进行分配，数值用四舍五入计算
      将自然数100分成10段，用π(10)k表其中的一段，筛去所有p≤10^0.5的素因子，我们有
          π(10)1=4={2,3,5,7}
          π(10)2=4={11,13,17,19}
          π(10)3=3={23,25,29}
          π(10)4=3={31,35,37}
          π(10)5=4={41,43,47,49}
          π(10)6=3={53,55,59}
          π(10)7=3={61,65,67}
          π(10)8=4={71,73,77,79}
          π(10)9=3={83,85,89}
          π(10)10=4={91,95,97}
           g(10)1=6={1,4,6,8,9,10}
           g(10)2=6={12,14,15,16,18,20}
           g(10)3=7={21,22,24,26,27,28,30}
           g(10)4=7={32,33,34,36,38,39,40}
           g(10)5=6={42,44,45,46,48,50}
           g(10)6=7={51,52,54,56,57,58,60}
           g(10)7=7={62,63,64,66,68,69,70}
           g(10)8=6={72,74,75,76,78,80}
           g(10)9=7={81,82,84,86,87,88,90}
           g(10)10=6={92,93,94,96,98,99,100}
                Σ10  π(10)k=10*4-5
                Σ10   g(10)k=10*6+5
       将自然数100筛去所有pp≤100^0.5的素因子，我们有
           100/ln100=22
           100((ln100)-1)/ln100=78
78={ 1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40,42,44,45,46,48,49,50,51,52,54,55,56,57,58,60,62,63,64,65, 66,68,69,70,72,74,75,76,77,78,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100}
       但是在78个数中，其实还包含了素数83，89，97，所以应当是
           π(100)=(100/ln100)+3=25
            g(100)=(100((ln100)-1)/ln100)-3=75
            3*100/(ln100)^3=3
            
        所以π(100)=(100/ln100)+3*100/(ln100)^3=25
             g(100)=(100((ln100)-1)/ln100)-3*100/(ln100)^3=75
            作者施承忠     2010.4.8

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## 网页内容总结

这是一个发布在**数学中国论坛**（基础数学板块）的帖子，标题为《**级数展开的筛法解释**》，作者为**施承忠**，发布时间为2010年4月8日。

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### 核心内容概述

#### 1. 引理
> 如果在 $a$ 个数中筛去 $p \le a^{0.5}$ 的素因子后的剩余数是 $b$，那么在 $na$ 个数中筛去 $p \le a^{0.5}$ 的素因子后的剩余数大约是 $nb$。

作者用欧拉函数 $\phi(p_1p_2)$ 的性质进行论证，但注明由于 $p_1 \perp a$ 只能是近似结论。

#### 2. 分配筛法
作者提出对素数个数 $\pi(N)$ 和非素数个数 $g(N)$ 的估计公式：
- $\pi(N) \approx N/\ln N$
- $g(N) \approx N(\ln N)^{-1}/\ln N$

#### 3. 实例验证
- **N=10 时**：
  - $\pi(10)=4=\{2,3,5,7\}$
  - $g(10)=6=\{1,4,6,8,9,10\}$
  - 计算值：$10/\ln10 \approx 4$，$10((\ln10)-1)/\ln10 \approx 6$

- **N=100 时**：
  - 将100分成10段，每段用 $\pi(10)k$ 表示
  - 筛去 $p \le 100^{0.5}=10$ 的素因子后，剩余数约78个
  - 但其中仍包含素数83、89、97，需修正
  - 最终修正公式：
    $$\pi(100) = \frac{100}{\ln100} + \frac{3 \times 100}{(\ln100)^3} = 25$$
    $$g(100) = \frac{100((\ln100)-1)}{\ln100} - \frac{3 \times 100}{(\ln100)^3} = 75$$

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### 帖子特点

| 项目 | 说明 |
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| 论坛 | 数学中国论坛 |
| 板块 | 基础数学 → 哥猜等难题和猜想 |
| 作者 | 小草（施承忠） |
| 积分 | 1661（金牌会员） |
| 发布时间 | 2010-04-08 |
| 浏览量 | 7970 |
| 回复数 | 0 |

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### 评价与说明

- 该帖提出了一种基于**级数展开**和**筛法**来估计素数分布的方法，试图对素数定理 $\pi(N) \approx N/\ln N$ 进行修正。
- 文中给出的修正项 $3N/(\ln N)^3$ 是一种经验性修正，用于解释筛法后仍残留的素数。
- 该思路与经典筛法（如埃拉托斯特尼筛法、布朗筛法、塞尔伯格筛法等）有所不同，属于作者个人研究性质的探讨。
- 帖子未引发讨论（0回复），可能因内容较专业或验证性不足。

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感兴趣的话可以了解下<aiso-underline>素数定理的严格证明过程是什么</aiso-underline>，或者<aiso-underline>经典筛法（如埃氏筛、布朗筛）的原理和区别是什么</aiso-underline>。