[灌水]说说欧拉连乘积

qingjiao

欧拉连乘积其实是个很简单的东西，不要把它看得很神秘。
首先，1-(1/p)^n=(1-1/p)(1+1/p+1/p^2+....1/p^(n-1))
令n-->∞，1+1/p+1/p^2+...+...=(1-1/p)^-1
然后，(1+1/2+1/2^2+...+...)(1+1/3+1/3^2+...+...)(1+1/5+1/5^2+...+...)...(1+1/p+1/p^2+...+...)....=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...
即上式左边的相乘必然无一遗漏也无一重复地产生出所有自然数的倒数。如果是p^s，则无一遗漏也无一重复地产生出所有自然数的s次方的倒数。
故：((1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)...(1-1/p)...)^-1=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...
及：((1-1/2^s)(1-1/3^s)(1-1/5^s)...(1-1/p^s)...)^-1=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...+1/n^s+...
这两个式子是当然正确的。
问题在于，这是无限项而且左边取全体素数，右边取全体自然数的情况，而我们一般研究的和有实际意义的问题都是有限数和有限项。例如求x以内的素数个数。此时，若左边取不大于x的所有素数，右边取不大于x的所有自然数，那么右边-->lnx，而左边>lnx，（有兴趣者请试证明此结论，好好玩的哈...）而且大得不小，等式不再成立。
这还不是最关键的问题。最关键的问题是目前数学界尚无法比较精确地确定左边-右边的量是多少，或者用一个较简单而又较准确的函数刻画左右边的误差--准确地说是，目前所能确定的误差范围对于解决杰波夫猜想之类的问题都无能为力。这就使得连乘积的实际用处很有限了。黎曼猜想应该就是为使该连乘积有实用价值的一种尝试，但对于一般爱好者来说太艰深了。
建议此版的数学爱好者们多动脑筋，把这个误差函数搞出来，搞得再精确一些，至少达到可以解决杰波夫猜想之类的程度。那么你们的工作才有实际意义，也不愁不被官方认可，不愁不一夜成名了。

申一言

  欧拉连乘积是错误的，因此不可能证明捷波夫猜想！
  《中华单位论》则可证明：
    limdn=lim{π[（n+1）ˇ2]-π（nˇ2）}=2
   n→∞  n→∞
                      错就是错！
                      必须纠错！
  

LLZ2008

qingjiao 先生，下面是我对连乘积误差范围的证明，请多多指点。

wangyangkee

下面引用由qingjiao在 2010/08/14 00:02am 发表的内容：
欧拉连乘积其实是个很简单的东西，不要把它看得很神秘。<BR>首先，1-(1/p)^n=(1-1/p)(1+1/p+1/p^2+....1/p^(n-1))<BR>令n-->∞，1+1/p+1/p^2+...+...=(1-1/p)^-1<BR>然后，(1+1/2+1/2^2+...+...)(1+1/3+1/3^2 ...

葫芦炒青椒是这么糟蹋生命的---------

qingjiao

LLZ先生:
您这不是证明,而是应用.
直接假定了(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)-->lnx, p<=x.
当然会有您的结果，尽管这个结果并不错。
所谓证明是指: (1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)=lnx+O(f(x)), p<=x.
求出这个表示误差的函数f(x)
您能求出来吗？

LLZ2008

下面引用由qingjiao在 2010/08/14 07:10pm 发表的内容：
LLZ先生:<BR>您这不是证明,而是应用.<BR>直接假定了(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)-->lnx, p<=x.<BR>当然会有您的结果，尽管这个结果并不错。<BR>所谓证明是指: (1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)=lnx+O(f(x)), p<=x ...

qingjiao 先生：
不知是我记的糊涂账呢！还是您记的糊涂账？

qingjiao

LLZ先生，您不服气吗？
我以前发过一个Mertens定理的帖子，待会提上来。
Mertens定理3就是有限项的连乘积的误差估算，这个定理是Mertens1870年左右得出的，而欧拉是十八世纪的人。
换言之，Euler无限项连乘积得出后100年，梅腾斯才得出有限项连乘的结果。

qingjiao

如果不做(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)-->lnx(或1+1/2+1/3+...1/x，p<=x也一样)之类的假定，您是不能得出您的结果的。LLZ先生可知道是为什么吗？
f1=x，f2=x^2，x-->∞，f1-->∞，f2-->∞，您认为f1=f2????

qingjiao

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=1348&show=0

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/08/15 11:08am 第 3 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2010/08/14 09:16pm 发表的内容：
如果不做(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)-->lnx(或1+1/2+1/3+...1/x，p<=x也一样)之类的假定，您是不能得出您的结果的。LLZ先生可知道是为什么吗？
f1=x，f2=x^2，x-->∞，f1-->∞，f2-->∞，您认为f1= ...

这里有点笔误，但意思是清楚的：

LLZ先做了(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)-->(lnx)^-1, p<=x或-->(1+1/2+1/3+...1/x)^-1,p<=x的假设,然后得出到x的连乘是到(x)^0.5的连乘的1/2。
这不过是Mertens定理3的简单应用。根据该定理，我们还可以轻易地得出：
到x的连乘是到(x)^1/3的连乘的1/3；
到x的连乘是到(x)^1/4的连乘的1/4；
......
现在请LLZ证明Mertens定理3：
(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)
LLZ先生能证出来吗？
如果能，那您就很牛逼了，如果误差项能弄得比1/(lnx)^2小，您就很有希望拿中国自然科学大奖了，如果小到O(1/x)，甚至只要O(1/(x)^0.5)，菲尔兹奖肯定就是您的了。。。。。。。。