谈谈连乘积问题认识和分歧

大傻8888888

    最近论坛里关于连乘积问题讨论的很是热闹。我想把这个问题的来龙去脉梳理一下;
    首先连乘积这个符号Π在几乎所有的数论书里都可以看到，是一个非常常用的普通符号，大家都明白它的用途，我就不再详细叙述了。
    接着来看这一个连乘积N*1/2Π(1-1/p),其中3≦p≦√N，大部分网友认为这个连乘积可以表示N以内素数的个数,，当然如果更精确一点应该是N*1/2Π(1-1/p)+π(√N)-1,不过因为π(√N)和π(N)相比的值，当N趋近无限大时，这个值可以忽略不计。关于这个连乘积网友认识并不统一，有的说应该是素数在N中的概率，有的说是比例、几率、密率等等。虽然说法不同，实际上基本都认可这个式子。因为在学习概率问题时就有概率相乘的现成方法可用，所以大家认为这个连乘积说成素数在N中的概率也就顺理成章了。并且证明各个素数的倍数互相独立也是一件很容易的事。1/2Π(1-1/p)这个式子有一个特别有用的地方是它肯定大于1/p，这样我们就可以说N以内素数的个数肯定大于p。不过qingjiao先生是个例外，他认为x-->∞时，x∏(1-1/p)-->1.123π(x)，p≤√x。不知他是怎么证明的，有没有可靠的数据就不得而知了。
    再一个就是N*1/2Π(1-2/p),其中3≦p≦√N。这个连乘积可以认为是N以内孪生素数的个数，同样可以用概率的方法得出，并且N以内孪生素数的个数，当N＞25时，N以内孪生素数的个数大于p/2。同时用以上的两个连乘积再结合素数定理就可以证明哈代_李特伍德关于孪生素数的猜测（参看我的帖子"谈谈连乘积和哈代_李特伍德孪生素数公式的关系")。不过tongxinping先生不同意这种看法，他认为π(N)=N*λ*1/2Π(1-1/p),N以内孪生素数的个数等于N*ε*1/2Π(1-2/p),这样的话，如果哈代_李特伍德关于孪生素数的猜测成立，则有ε=λ*λ。这样同一个N以内素数的个数和N以内孪生素数的个数用连乘积表示，其中一个系数的值竟然会是另一个系数个数的平方，真叫人不可思议。如果是ε=λ=1， 则一切问题迎刃而解。
    这里我再强调一点那就是前一个连乘积我没有采用大家常用的Π(1-1/p),而是1/2Π(1-1/p),这是为了这两个连乘积的p值的取值范围一致。
    另外从N以内孪生素数的个数N*1/2Π(1-2/p),可以很容易推出偶数N以内哥猜素数对的个数是N*1/2Π(1-2/p)Π[(p-1﹚/﹙p-2)],中括号内p|N。当然得出的值里两个不同的素数是两对，如3、5和5、3等。
    今天就写到这里，欢迎大家讨论。有不当之处敬请批评指正！

lusishun

所以大家认为这个连乘积说成素数在N中的概率也就顺理成章了，
这是数学家与民间数学爱好者的一个共同的一个弱点，这是人们认为不能证明哥猜的关键

lusishun

需建立倍数含量的概念。

lusishun

http://www.hudong.com/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E6%95%B0%E8%AE%BA

lusishun

数学家们都是依概率数论去思考，永远不能证明猜想，也不接受别人的证明。关键在这里。很多数学杂志的编审一看到几分之几就认为是概率问题，不接受。

大傻8888888

    按鲁先生的看法，那只有鲁先生的方法才可以解决哥猜问题了。那就祝你成功破解哥猜难题吧。

lusishun

>>>>按鲁先生的看法，那只有鲁先生的方法才可以解决哥猜问题了,那就祝你成功破解哥猜难题
1.就我近十年的观察,除了老鲁彻底证明了哥猜,其余的研究还欠完善.特别是期盼用概率证明的,就更无意义.
  2.暂且不必祝贺,相互学习理解,先达成共识,再互相祝贺.

lusishun

以前搜概率数论,得到的词条,最后有(王元),现在再找这词条就是找不到了,现在搜索的 概率数论词条,不在有(王元),而是外文书目.见下:
http://www.hudong.com/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E6%95%B0%E8%AE%BA

这表示王元教授,也明白了在连续的n个自然数中素数p的倍数的出现是按比例规律出现的，不是概率问题。

lusishun

在连续的n个自然数中，素数p的倍数出现不是随机事件，这也是大家明白的，不能套用您所说的“因为在学习概率问题时就有概率相乘的现成方法可用”，即概率相乘的现成方法在这里是不能套用的。

tongxinping

关于
“不过qingjiao先生是个例外，他认为x-->∞时，x∏(1-1/p)-->1.123π(x)，p≤√x。不知他是怎么证明的，有没有可靠的数据就不得而知了。”
说得更详细一些是x∏(1-1/p)→1.122936558…x/ln x，这就是说，π(x)～x∏(1-1/p)要比 π(x)～x/ln x 差，优胜劣汰，π(x)～x∏(1-1/p)无立足之地。