[讨论]再答网友一棵小草

雷明85639720

再答网友一棵小草
雷  明
（二○一○年九月八日）
网友一棵小草：
再次感谢你对我的思想的支持。你的《同网友雷明讨论四色问题》一文我没有注意看，昨天我才发现后面的我还没有看到，所以回复得较晚，请谅解。
对于任意图色数的界ω≤γ≤＜1.5ω＞（＜ ＞表示其内的数字向下取整，如4.3，4.5，4.7向下整后都是4），当ω≤3时，都有γ≤4，当ω＝4时，可以有γ＝4，γ＝5，γ＝6三种结果，但当这个ω＝4的图的色数是5或6时，这时图就不是平面图而是非平面图（图中不可避免的就出现了交叉边，你可以画图看看），这不在我们所研究的平面图范围之内。所以我才说“由此可以得出任何平面图着色时，其色数一定不会大于4，即γ平≤4。这就证明了平面图的四色猜测是正确的。”你说：“请问引号内文字是否是：‘平面图的四色猜测是正确的’理由之一。若承认是，您就不能轻描谈写。”我再请问你，你的“引号内文字”是指什么，你能指明是那句话吗。
你说：“色数大于4，……图已不再是平面图&”，｛这个命题的成立，根据是什么？是一般人能接受的吗？｝。我现在这样讲，看你是否能接受。
按我的道路向最大团同化的理论，首先得到了任意图的色数是γ＝ω＋S，这个S就是不可同化道路的条数，有一知不可同化道路，就有一个顶点同化不到最大团中去，同化的最终结果——其最小完全同态的顶点数就会比图的密度大1。现在一个K4团（密度是ω＝4）外画一条不可同化道路（或者是饱和道路），这时的图就一定会是非平面的，这就说明，密度是ω＝4的平面图中是不可能出现饱和道路的，更不会出现不可同化道路的，这也就是说密度是ω＝4的平面图的色数是不会大于4的。你引用的话“色数大于4，……图已不再是平面图&”，不知是不是我文中说的“初看起来在ω＝4时，其色数有可能大于4，但在这种情况下的图已不再是平面图了（如图3，a图的色数是5，b图的色数是4，但两图都不是平面图，因为图中出现了交叉边。）。由此可以得出任何平面图着色时，其色数一定不会大于4，即γ平≤4。这就证明了平面图的四色猜测是正确的。”
我还不明白你所说的“同化结果的功能”是什么意思，你能说得更明白一点吗。另外你用了一个“&”符号，我也不明白是什么意思。
我的回复不知能否叫你满意，请回答。
                                    雷  明
                             二○一○九月八日于长安
注：此文于二○一○年九月八日在《数学中国》网上发表过。

附：网友一棵小草的《同网友雷明讨论四色问题》的博文（摘录）（见下页）
接受同化思想：（你说）“先选定一个最大团，然后把该团外顶点都向最大团中进行同化。同化的过程就是把不相邻的顶点放到一起。任何图中最大团的顶点数ω就是图的密度。同化的最终结果是最小完全同态；最小完全同态的顶点数用α表示。”
雷明网友的同化结果与本人的同色变换操作结果虽然是一样的，但他的方法更先进，其功能更多；这是后者所不及的。
您是从最少数目的顶独立集的个数的视角来说明原图至少着n种颜色的道理，用同化结果只是为了找独立集的个数；您与我的出发点不同，我则关注同化结果的功能。其实还是您做得好，理论根据充分，更有说服力。要求您挖掘出同化结果完全图K(n)的功能，那是我的一己之见，后面还要谈到这个问题。
说老实话，关于最少顶独立集我没有用过，也就是不懂；我又不能装懂，只好利用这个机会向您学习。我在书上看到，说的是任意两点均不邻.......。这次交流与沟通，是我学习的极好机会，浪费您的时间了，多谢！
我的同色变换操作很粗糙，不需最大团，更不与其密度发生关系，根本得不到色数的界。您确实有无师自通的能力，采用创新理念；最后得到任意图色数γ的界是ω ≤ γ ≤ < 1.5ω >。从无界到有界，这需要做很多工作；也是十分艰辛的过程。应该向您表示祝贺，这确实是一个突破，过去我没有看得那么详细。对照您的同化结果，再展开回去，恰恰把原图4着色。而我的方法很粗糙，它是从简单朴素的拓扑变换（把点的连线看成长短可变化的橡皮筋）思想出发，将不相邻的顶点搬到一起就是了。当添线后再还原就出了问题，着色数比实际多了，也就是不可逆了。所以我要吸取您的长处，不必添线，直接按步骤操作即可。
你说，我对4—轮图同化方法是对的（即图3）。于是，我猜出了您的同态过程。其最后就是一个由a（c）、b（d）、e三个顶点构成的3—圈，也就是一个K3图，这就是4—轮（偶轮）的最小完全同态，其顶点数是3，所以上述4—轮的色数就是3。这里的顶独立集一共有3个，即顶点a和c（在原图中不相邻）构成一个顶独立集，顶点b和d构成一个顶独立集，顶点e一个就是一个顶独立集，共3个顶独立集。
（你说）“已知平面图的密度是不大于4的，这就有可能使我们把仅有的四种密度值代入到任意图着色色数的界中，结果得到任何平面图的色数都是小于等于4的。初看起来在ω＝4时，其色数有可能大于4，但在这种情况下的图已不再是平面图了（如图3，a图的色数是5，b图的色数是4，但两图都不是平面图，因为图中出现了交叉边。）。由此可以得出任何平面图着色时，其色数一定不会大于4，即γ平≤4。这就证明了平面图的四色猜测是正确的。”
您对“其色数有可能大于4”只指出“图已不再是平面图”便置之不理！这在一般情况下是完全可以的（因为我们研究的是平面图，非平面图不是我们研究的范围）；但这里却并不一般！暂且放下。请问，引号内文字是否是：“平面图的四色猜测是正确的”理由之一。若承认是，您就不能轻描谈写。
“色数大于4，……图已不再是平面图&”，{这个命题的成立，根据是什么？是一般人能接受的吗？}
现在接着说同化结果的功能。显然，前面提到的根据就在同化结果的功能里；你要估计到，不研究这个问题的人是不懂这个结果的。就算人家知道，您不论述，他故做不知；尤其是专家！所以我说，您要深挖同化结果的功能，对咱是有利的。不要小看了这个结果------它还揭示了图的色数n与K(n)的等价性。还有......,只要把前者宣传好了，问题的解决就有了着落。因为“色数n与K(n)的等价性”，再借助定理“K(5)是非平面图”，才有&。站在巨人的肩膀上，更容易达到目的！
由“K（5）不是平面图”到“色数>4不是平面图”这一小步，它的道理是需要论证一番的。