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[这个贴子最后由愚工688在 2011/10/21 01:05pm 第 3 次编辑]
大于5的偶数分成两个素数的全部分法数量的得出与计算
摘要：本文依据埃拉托色尼筛法——x不能被≤√x的所有素数整除即为素数的原理，用≤√x的所有素数来判断小于x的其他整数，得到了偶数分成两个素数的两个条件，可以据此得到偶数分成两个素数的全部分法数量。其中条件a的情况，可以归纳为一个概率问题，而用概率的独立事件的乘法原理进行计算。
一，偶数M分成两个素数的条件与分法数目S(m)
把偶数M分成的两个整数分别记为 A-x 与 A+x ，则A=M/2，X在[0,A-3]中有A-2 个可选值， A+x 的最大值为M-3 。
用≤√(M-2)的所有素数2，3，…，n，…，r （r为其中最大的素数，下均同）来判断A-x 与 A+x 是否都是素数，得到如下2个条件：
条件a ：A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数；
条件b：A+x不能够被上述这些素数整除，而A-x能被某素数整除但商为1，两个数也都是素数；
若把偶数M的符合条件a的x值在区间[0，A-3]个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可筛选得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m) （式1）
二，计算
2.1 教科书中关于概率事件的乘法原理：
设有事件A 与B ，如果
P(A·B)=P(A)·P(B)
那么我们就称事件A与B为相互独立。
……
由事件独立性的定义，容易推得：不可能事件或必然事件与任何事件都相互独立；并且如果事件A与B互相独立，那么A与B排互相独立， B与A排 互相独立，A排 与 B排也互相独立。
上面仅讨论了两个事件的独立性,但是这个概念可推广到任意有限多个事件上去。
对于事件A1，A2，…，An，……
如果A1，A2，…，An互相独立，那么
P(A1*A2*…*An)= P(A1)P(A2)…P(An).——注1
2.2 乘法原理的运用：
由于自然数列里的数在除以任意二个素数j，k时，余数同时满足等于ji、ki [ji=0,1, …，j-1；ki=0,1, …，k-1] 的概率 ，有
P(j·k)=P(j)·P(k)=(1/j)(1/k)，在连续的j×k 个自然数中必有一个满足条件的数，显然素数j与k的余数为互相独立,并且这个素数的余数为互相独立的概念可推广到任意有限多个素数上去。
2.3 在具体偶数上的应用
上面条件a 可看成变量x符合某种由A所决定的条件的数，其在区间[0，A-3] 中的分布规律，实际上可归结为一个概率问题：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的数的发生概率问题，这里的I2,I3,…,In,…，Ir系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
因而符合“条件a”：除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的x值的分布概率P(m)由独立事件的乘法原理的推广，可得：
P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
=P(2)·P(3)·…·P(n)·…·P(r) {式2}
故在[0，A-3] 中使偶数Ｍ分成两个符合“条件a”的素数的x值的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2)P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)×P(2)×P(3)×…×P(n)×…×P(r)
=(A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r)； 式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [In>0时] 。In系A除以n时的余数。
2.3.1实例：
2.3.1.1 M= 120
A= 60 ,≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7，A除以素数2，3，5，7的余数分别是I2=0，I3=0，I5=0，I7=4；在[0，57]区间里面同时满足：
除以2的余数≠0、除以3的余数≠0、除以5的余数≠0、除以7的余数≠4与3的x值的概率计算数量Sp( 120)有
Sp( 120)=[( 120/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 11.05
实际有 x= : 1 ,7 ,13, 19 ,23 ,29 ,37 ,41, 43 ,47 ,49 ,( 53 )——(括号里面的是满足条件b的值，下同)
代入得到全部的[A-x + A+x ]：
59 + 61 ,53 + 67 ,47 + 73, 41 + 79 ,37 + 83 ,31 + 89 ,23 + 97, 19 + 101 ,17 + 103 ,13 + 107 ,11 + 109, 7 + 113
S(m)= 12 S1(m)= 11 Sp(m)= 11.05 E(m)= 0 K(m)= 2.67 r= 7
2.3.1.2 M= 122
A= 61，≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7， A除以素数2，3，5，7的余数分别是I2=1，I3=1，I5=1，I7=5；在[0，58]区间里面同时满足：
除以2的余数≠1、除以3的余数≠1与2、除以5的余数≠1与4、除以7的余数≠5与2的x值的概率计算数量 Sp( 122)有
Sp( 122)=[( 122/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)= 4.21
实际有 x= : 0 ,18 ,42 ,48
代入得到全部的分法： 61 + 61 ,43 + 79 ,19 + 103 ,13 + 109
S(m)= 4 S1(m)= 4 Sp(m)= 4.21 E(m)= .05 K(m)= 1 r= 7
2.3.1.3 M= 124
A= 62 ,≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7，11， A除以素数2、3、5、7、11的余数分别是I2=0、I3=2、I5=2、I7=6、I11=7，在[0，59]区间里面同时满足：
除以2的余数≠0、除以3的余数≠2与1、除以5的余数≠2与3、除以7的余数≠6与1、除以11的余数≠7与4的x值的概率计算数量 Sp( 124)有
Sp( 124)=[( 124/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)= 3.51
实际有 x= : 9 ,21 ,39 ,45 ,( 51 )
代入得到的全部的分法： 53 + 71 ,41 + 83 ,23 + 101 ,17 + 107 ,11 + 113
S(m)= 5 S1(m)= 4 Sp(m)= 3.51 E(m)=-.12 K(m)= 1 r= 11
理论上用同样的方法，我们可以求得任意大的偶数Ｍ分成两个符合“条件a”的素数的x值的概率计算值Sp(m)以及全部的分法——唯一的问题是计算机运算能力与软件能否满足要求。
2.3.2：大偶数9699690的分法
The all methods are to be divided 9699690 into two prime numbers:
4849723 + 4849967 4849639 + 4850051 …… 43 + 9699647 41 + 9699649 37 + 9699653 23 + 9699667
M= 9699690 S(m)= 124180 S1(m)= 124031 Sp(m)= 136157.51 E(m)= .1 K(m)= 4.38 r= 3109
（数据文本大小：2273kb 486电脑运算：近26分钟 ；）
2.3.3. 对于不太大的偶数，计算还是比较快的。对6-1000的全部偶数的运算，在8秒左右就完成了。摘录如下（具体素数略）:
M= 6 S(m)= 1 S1(m)= 1 Sp(m)= .5 E(m)=-.5 K(m)= 1 r= 2
M= 8 S(m)= 1 S1(m)= 1 Sp(m)= 1 E(m)= 0 K(m)= 1 r= 2
M= 10 S(m)= 2 S1(m)= 2 Sp(m)= 1.5 E(m)=-.25 K(m)= 1 r= 2
M= 12 S(m)= 1 S1(m)= 1 Sp(m)= 1.33 E(m)= .33 K(m)= 2 r= 3
M= 14 S(m)= 2 S1(m)= 1 Sp(m)= .83 E(m)=-.17 K(m)= 1 r= 3
M= 16 S(m)= 2 S1(m)= 1 Sp(m)= 1 E(m)= 0 K(m)= 1 r= 3
……
M= 996 S(m)= 37 S1(m)= 33 Sp(m)= 30.8 E(m)=-.07 K(m)= 2 r= 31
M= 998 S(m)= 17 S1(m)= 15 Sp(m)= 15.43 E(m)= .03 K(m)= 1 r= 31
M= 1000 S(m)= 28 S1(m)= 24 Sp(m)= 20.61 E(m)=-.14 K(m)= 1.33 r= 31
三，概率计算值Sp(m)的相对误差δ(m)
如上所述，我们可以求得任意偶数Ｍ分成两个符合“条件a”的素数的x值的概率计算值Sp(m)，但其与实际的值S1(m)不是完全相等的，而是存在一定的偏差，因此，对于这个偏差我们进行下面的分析讨论。
为表达出Sp(m)值与真值S1(m)之间的关系，引用相对误差δ(m)来表达：
δ(m)=[Sp(m) -S1(m)] / S1(m)； {式4}
即有： S1(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)]； {式5}
式5表达了实际值S1(m)与概率计算值Sp(m)的相互关系。
我依据上述的分析编的Basic程序，不仅可轻易地得到偶数M分成两个素数的全部分法及各个分法的数据S1(m)、S(m)，通过计算得出大于4的偶数M分成两个符合条件a的素数的概率计算值Sp(m)及与S1(m)的相对误差δ(m)（希腊字母在Basic程序中不便表示，故用E(m)表示δ(m)，下面不再另注）。
部分偶数区间内偶数的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
偶数6-10000
E(m): <-.4 [-.4,-.3)[-.3,-.2)[-.2,-.1) [-.1,.1] (.1,.2] (.2,.3] (.3,.4] >.4
---------------------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 1000 ] 1 2 17 90 326 39 13 8 2
[ 1002 , 2000 ] 0 0 4 68 399 25 3 1 0
[ 2002 , 3000 ] 0 0 0 49 431 18 2 0 0
[ 3002 , 4000 ] 0 0 0 21 457 21 1 0 0
[ 4002 , 5000 ] 0 0 0 8 471 20 1 0 0
[ 5002 , 6000 ] 0 0 0 19 472 9 0 0 0
[ 6002 , 7000 ] 0 0 0 14 475 11 0 0 0
[ 7002 , 8000 ] 0 0 0 8 483 9 0 0 0
[ 8002 , 9000 ] 0 0 0 7 480 13 0 0 0
[ 9002 , 10000 ] 0 0 0 4 492 4 0 0 0
------------------------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 10000 ] 1 2 21 288 4486 169 20 9 2
（上面的数据是由电脑运算得到，每一个数据都可以单独例出具体的偶数对应验证。）
同时得到对上面各区间偶数的相对误差的统计计算结果如下：（E1：平均相对误差，E2：标准偏差）
M=[ 6 , 1000 ] R= 31 n= 498 E1=-.02 E2= .13 E(min)=-.5 E(max)= 1.286
M=[ 1002 , 2000 ] R= 43 n= 500 E1=-.02 E2= .08 E(min)=-.221 E(max)= .378
M=[ 2002 , 3000 ] R= 53 n= 500 E1=-.03 E2= .06 E(min)=-.192 E(max)= .26
M=[ 3002 , 4000 ] R= 61 n= 500 E1=-.01 E2= .06 E(min)=-.187 E(max)= .222
M=[ 4002 , 5000 ] R= 67 n= 500 E1=-.01 E2= .05 E(min)=-.132 E(max)= .211
M=[ 5002 , 6000 ] R= 73 n= 500 E1=-.02 E2= .05 E(min)=-.161 E(max)= .197
M=[ 6002 , 7000 ] R= 83 n= 500 E1=-.02 E2= .05 E(min)=-.162 E(max)= .18
M=[ 7002 , 8000 ] R= 89 n= 500 E1=-.01 E2= .05 E(min)=-.143 E(max)= .158
M=[ 8002 , 9000 ] R= 89 n= 500 E1= 0 E2= .04 E(min)=-.134 E(max)= .173
M=[ 9002 , 10000 ] R= 97 n= 500 E1= 0 E2= .04 E(min)=-.144 E(max)= .193
------------------------------------------------------------------------------------------------
M=[ 6 , 10000 ] R= 97 n= 4998 E1=-.01 E2= .07 E(min)=-.5 E(max)= 1.286
这里的E2=√(∑E^2/n).
例如:M=[ 6 , 10 ] ,R= 2 ,n= 3 ,E1=-.25 ,E2= .2 ,E(min)=-.5 ,E(max)= 0 .可以与2.3.3. 的数据验证。
在这些统计中，可看到在偶数较小时的区间里，偶数的相对误差E(m)值的分布的离散性比较大些；而在偶数较大的区间里，大多数偶数的相对误差E(m)值的绝对值比较小，
而且区间里的相对误差E(m)的标准偏差也不大，故它们的S1(m)值与Sp(m)比较接近。由此可看出S1(m)的概率计算值Sp(m)是比较符合实际的，这是正常的，因为它是根据现有数学上的概率原理进行的。
四， S1(m)值变化的主要的特征系数——K(m)
对任意一个给定偶数M，假定A除以≤ r的全部素数时的余数都不为零，此时满足条件a的x值在 [0，A-3] 中的发生概率为 P(m)min，则有
P(m)min =1/2 * 1/3 * …*(n-2)/n * …*(r-2)/r； {式6}
其与该偶数的x值满足于条件a的实际的分布概率P(m)之间有：
P(m)=K(m)* P(m)min； {式7}
式中，K(m)= kn1* kn2 *…；这里kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
因此，{式3 }的Sp(m)又可表达为：
Sp(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min ； {式8}
由{式5}、{式8}，可得出：
S1(m)= Sp(m)/ [1+δ(m)] = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+δ(m)]； {式9}
从{式9}中的各个因子中，分析一下S1(m)值变化的影响因素：
因数(A-2)与P(m)min的积：对于在最大素数r值不变的区间内各偶数来说，该乘积在直角坐标图上的点的连线，是一条斜率为P(m)min的直线，在偶数稍大（r＞7）后的各个区间内，P(m)min 是较小的，并且随着素数r值的增大而逐渐变小，因而(A-2)×P(m)min的变化是很小的；
对系数1/[1+δ(m)]的分析：
对于δ(m)，其数学期望值为零时，S1(m)与Sp(m)相等，而大多数偶数的相对误差δ(m)的绝对值与0之间虽然有一定的相差，但是如上面统计结果所示并不大，因而1/[1+δ(m)]值与1相差不大 [如在r =31的区间内,1/[1+δ(m)]的值范围在（ 0.79~1.28） ；而在r =101的区间内,1/[1+δ(m)]的值范围在（ 0.8897~1.117）之间]。
对K(m)值的分析：
由于K(m)值是由偶数M所含有的素数因子决定的，每连续三个偶数中即有一个偶数至少含有素数因子3，它的K(m)值必然大于或等于2，其对S1(m)的影响远远大于计算相对误差的影响即系数1/[1+δ(m)]的影响程度，因此K(m)值描绘出了S1(m)值变化的主要特征——周期性的脉动式突变。
五， 分法数值的折线图举例——见附件
在偶数较小时的区间里，把偶数的实际分法数据S(m)，S1(m)与概率计算值Sp(m)及K(m)值在直角坐标系中绘图，可以直观的看到它们之间变化的相似性。
（在偶数较大的区间，实际的分法数据也大，受显示屏的显示度的影响，比较难显示。依据上面的误差统计,可以相信,它们之间变化的相似度更高.）
六，大偶数的全部分法数量的估算
把{式9}代入{式1}中，可得
S(m) = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+δ(m)] + S2(m)
=S2(m)+(A-2)*K(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n-2)/n]*…*[(r-2)/r] /[1+δ(m)] ‘P(m)min 的展开
= (A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n1-2)/n1]*…*[(r-2)/r] /[1+δ(m)] + S2(m) ‘引入小于r 的非素数的全部奇数因子
= (A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)*(1/r) /[1+δ(m)] +S2(m) ‘约分
= [(A-2)/(2r)]*K(m)*{F(m)/[1+δ(m)]} +S2(m)
= [(M-4)/(4 r) ]*K(m)*{F(m)/[1+δ(m)]} +S2(m) {式10}
式中：3≤n1≤r 、n1为奇数。
F(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1；
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数，f(m1)=m1/(m1-2)，f(m2)=m2/(m2-2） ，…
在{式10}中：
S2(m)≥0 ；
[(M-4)/(4r)]=[M/(4r)－1/r]，在M→大时，r 也逐步趋大，1/r 很快的接近0，对于以整数计数的分法数来讲可以忽略，故 [M/(4r)－1/r]≈M/(4r)>√M/4 ；
K(m)≥1；
对F(m)/[1+δ(m)] 的值分析如下：
分母[1+δ(m)]的值如前面分析过的那样，与1相差不多；而F(m)是与小于r的全部奇合数有关。随着偶数的增大，r的逐步变大，F(m)值将越来越大，这是必然的。
因此,任意的大偶数，它的分成两个素数的数量，可以由{式10}所含的3个部分估算出来：
基础值——[(M-4)/(4 r) >√M/4 ，故用√M/4 来代替。
低部值区间——√M/4 *F(m)/[1+δ(m)] 。在偶数较大时，取δ(m)=0.1就足够了,而F(m)随偶数增大而逐级变大,且容易求得(见下)。
素数因子脉动系数K(m) ——以最小的奇素数因子3的影响为主。其体现了分法数S1(m)的周期性变化的峰值。
而S2(m) ，由于其相对于 S1(m)很小，故忽略。即用S1(m)来近似代替S(m)时，其作用能减少 Sp(m)的 正误差，不影响 分法数S(m)的周期性变化的趋势，。
例如:213000及以上的偶数的分法数量估算:
√M/4 =115.4；
（√M/4） *F(m)/[1+δ(m)] ：取δ(m)=0.1代入：得到（√M/4） *F(m)/[1+δ(m)] =1051。就是说低部值不少于1051。
[若取δ(m)=-0.1代入，并且乘以K(m)的高值，我们也可以得到峰值的极限值，S(m)低于该值。]
验证：213000——213020：
M= 213000 S(m)= 3038 S1(m)= 3016 Sp(m)= 3132.81 E(m)= .04 K(m)= 2.71 r= 461
M= 213002 S(m)= 1101 S1(m)= 1095 Sp(m)= 1158.03 E(m)= .06 K(m)= 1 r= 461
M= 213004 S(m)= 1327 S1(m)= 1315 Sp(m)= 1328.33 E(m)= .01 K(m)= 1.15 r= 461
M= 213006 S(m)= 2273 S1(m)= 2254 Sp(m)= 2342.74 E(m)= .04 K(m)= 2.02 r= 461
M= 213008 S(m)= 1077 S1(m)= 1069 Sp(m)= 1158.06 E(m)= .08 K(m)= 1 r= 461
M= 213010 S(m)= 1931 S1(m)= 1916 Sp(m)= 1987.61 E(m)= .04 K(m)= 1.72 r= 461
M= 213012 S(m)= 2307 S1(m)= 2293 Sp(m)= 2380.22 E(m)= .04 K(m)= 2.06 r= 461
M= 213014 S(m)= 1128 S1(m)= 1120 Sp(m)= 1174.41 E(m)= .05 K(m)= 1.01 r= 461
M= 213016 S(m)= 1123 S1(m)= 1110 Sp(m)= 1158.11 E(m)= .04 K(m)= 1 r= 461
M= 213018 S(m)= 2446 S1(m)= 2425 Sp(m)= 2526.8 E(m)= .04 K(m)= 2.18 r= 461
M= 213020 S(m)= 1482 S1(m)= 1473 Sp(m)= 1544.17 E(m)= .05 K(m)= 1.33 r= 461
偶数所对应的F(m)值的计算也是很容易得到的。如下为偶数 52——1515362 的对应F(m)值的摘录：
52 -- 122 r= 7 sp(m)min= 1.7 F(m) = 1
124 -- 170 r= 11 sp(m)min= 3.48 F(m) = 1.286 [=（9/7）]
172 -- 290 r= 13 sp(m)min= 4.12 F(m) = 1.286
292 -- 362 r= 17 sp(m)min= 6.34 F(m) = 1.484 [=（9/7)（15/13）]
364 -- 530 r= 19 sp(m)min= 7.02 F(m) = 1.484
532 -- 842 r= 23 sp(m)min= 9.5 F(m) = 1.64 [=（9/7)（15/13）(21/19)]
844 -- 962 r= 29 sp(m)min= 13.86 F(m) = 1.925
……
51532 -- 52442 r= 227 sp(m)min= 360.7 F(m) = 6.3
52444 -- 54290 r= 229 sp(m)min= 367.08 F(m) = 6.3
……
85852 -- 94250 r= 293 sp(m)min= 558.01 F(m) = 7.353
94252 -- 96722 r= 307 sp(m)min= 565.49 F(m) = 7.654
……
212524 -- 214370 r= 461 sp(m)min= 1168.86 F(m) = 10.026
214372 -- 218090 r= 463 sp(m)min= 1179.02 F(m) = 10.026
218092 -- 229442 r= 467 sp(m)min= 1199.48 F(m) = 10.069
……
358804 -- 361202 r= 599 sp(m)min= 1794 F(m) = 12.076
361204 -- 368450 r= 601 sp(m)min= 1806 F(m) = 12.076
……
564004 -- 573050 r= 751 sp(m)min= 2538 F(m) = 14.091
573052 -- 579122 r= 757 sp(m)min= 2578.72 F(m) = 14.166
……
994012 -- 1018082 r= 997 sp(m)min= 4473.04 F(m) = 17.261
……
1495732 -- 1510442 r= 1223 sp(m)min= 5982.91 F(m) = 19.98
1510444 -- 1515362 r= 1229 sp(m)min= 6041.76 F(m) = 20.046
七， 结论
大偶数分成两个素数的全部分法可以按照本文的偶数分成两个素数的两个条件得出，其中条件A的分法数量S1(m)可以用概率方法进行近似计算。而分法数量的变化的主要因素为K(m)，其由偶数含有的奇素因子决定；分法数量的低位区间的缓慢变化的主要因素为 (A-2)*P(m)min /[1+δ(m)] ，除了偶数比较小时外，其它区间偶数分法数量的概率计算的相对误差在±0.1内。
注1——以上数学原理摘自高等数学(化、生、地类专业)第一册210-212页。书号 13012.096 ，上海师范大学数学系，中山大学数学力学系，上海师范学院数学系 合编 ,人民教育出版社 1978年出版。 另注：A排，B排分别表示A，B上面有一横的符号，用数学编辑器生成的符号，贴不出。
附录：
本文中数据主要涉及了如下的Qbasic程序的数据：
一，求偶数M的分成两个素数的分法数目的数据的程序-概率计算；
二，偶数的分法数S1的概率计算的相对误差的统计程序zfwc。
所有数据，均可以重复再现。
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发表于 2011-9-25 18:56
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